Глава 3. Методы интегрирования

Для вычисления неопределенных интегралов часто используют так называемые стандартные методы интегрирования. Перечислим основные из них.

Метод замены переменной. Добиться упрощения подынтегрального выражения можно при помощи метода замены переменной интегрирования. Суть этого метода заключается в замене переменной интегрирования х на некоторую непрерывную функцию х = j(t), имеющую непрерывную производную φ’(t) и обратную функцию , с тем, чтобы преобразовать исходный интеграл к более простому виду. Тогда

(3.1)

Формула (3.1) называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Априорных рекомендаций по эффективному применению этой формулы не существует и все зависит от интуиции и опыта исследователя.

Для доказательства, как мы это делали ранее, возмем производные по переменной х от левой и правой части и проверим, что они совпадают (формулы 2.2, 2.3)

Для вычисления производной от правой части вспомним, что . Тогда

Алгоритм метода замены переменной следующий. Вначале необходимо найти замену переменной интегрирования x = j(t), записать интеграл с новой переменной интегрирования t, вычислить его, а затем вновь вернуться к исходной переменной интегрирования, использовав обратную функцию .

Простейшие замены.К простейшим относятся линейная замена и замена типа «подведение под знак дифференциала».

Линейная замена основана на следующем соотношении. Пусть интеграл

является табличным. Тогда можно вычислить интеграл от функции f (ax+b)

. (3.2)

Для доказательства возьмем производные от левой и правой части равенства (3.2)

Пример 1.Вычислить .

Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

Тогда

Пример 2.Вычислить .

Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

Тогда

Замена типа подведение под знак дифференциала основана на формуле

(3.3)

т.е. в данном случае сделав замену , x = f ^{– 1}(t) мы проверяем, есть ли под знаком интеграла dt, а не находим dx.

Пример 3. Найти .

Решение. Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное выражение содержит сомножитель который является дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной:

t = arctg x.

Отсюда

dt = d(arctg(x)) = и e^{arctg x}= e^t.

Подставляя в исходный интеграл, имеем

= e^{arctg x}+ C.

Пример 4. Найти .

Решение. Здесь уместна замена

t = cos x,

т.к. dt = - sin x dx, и sin³x dx = sin²x sinx dx = (1 – cos²(x)) sinx dx.

Поэтому

Метод интегрирования по частям. Пусть u(x) и v(x) две дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы от произведений функций и основан на формуле

(3.4)

или, в развернутом виде ,

(3.5)

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. Ее применение полезно в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух функций и выражение для взятия интеграла проще, чем подынтегральное выражение .

Доказательство.По правилу дифференцирования произведения функций u(x) и v(x) , имеем

Проинтегрируем это равенство, учитывая, что (2.5)

Тогда

Из этого соотношения легко получить формулы (3.4), (3.5).

Пример 5. Найти .

Решение. Использование формулы интегрирования по частям позволяет вместо исходного не табличного интеграла вычислить только интеграл от sinx. Покажем это, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

= - x∙cos(x) + =

= - x ∙ cos(x) + sin(x)+ C.

Обычно в интегралах за u(x) берут следующие функции:

ln(x), arсsin(x), arсcos(x), arсtg(x), arсctg(x)

а за v’(x) берут функции

е^х, sin(x), cos(x).

Функцию хⁿ , где n натуральное число, можно относить и к первой и ко второй группе.

Метод разложения на простейшие.Правильной рациональной дробью R(x) называется отношение двух полиномов (многочленов)

(3. 6)

где коэффициенты многочленов и .

Если дробь называется неправильной, такие дроби необходимо упростить, выделив целую часть и остаток в виде правильной дроби.

Знаменатель рациональной дроби имеет ровно n корней, среди которых есть действительные корни (кратные, т.е. повторяющиеся, и некратные) и комплексные корни, также кратные и некратные (комплексные корни являются корнями квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом).

Простейшими дробями или просто простейшими называются дроби вида