Глава 1. Определение первообразной. Свойства первообразной.

Раздел 5. Первообразная и неопределенный интеграл

Глава 1. Определение первообразной. Свойства первообразной.

 

 

Операция нахождение производной от функции называется дифференцированием. Обратная дифференцированию операция - отыскание функции по ее производной называется интегрированием.

Функция F(x), производная которой равна функции f(x), т.е.

 

F¢(x) = f(x) (1.1)

 

называется первообразной для f(x).

Так, например, если f(x) = xⁿ, то ее первообразная есть F(x) = , так как

.

 

Tсли же f(x) = sin (2x), то ее первообразная

 

F(x) = - 0.5 cos(2x),

 

так как

 

.

 

Теорема.Пусть F₁(x) и F₂(x) две первообразные одной и той же функции f(x) на промежутке [a,b]. Тогда разность между ними есть постоянная величина С.

Доказательство.Обозначим за Ф(х) разность между F₂(x) и F₁(x), т.е. Ф(х) = F₂(x) - F₁(x) и возьмем производную от функции Ф(х)

 

(1.2)

 

Единственной функцией, производная которой при любом значении х равна нулю, есть постоянная величина, следовательно Ф(х) = const ≡ C и

 

F₂(x) = F₁(x) + С. (1.3)

Константа С называется постоянной интегрирования.

 

Пример. Функция F(x) = – 0.5 cos(2x) является первообразной не только для f(x) = sin(2x), но и для f(x) = sin(2x) + 4, и для f(x) = sin(2x) - , и вообще для любой функции вида sin(2x) + C

Следствие. Функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных {F(x)}вида

F(x) + C, отличающихся на постоянную величину.