Выборочная дисперсия (статистическая дисперсия, статистический центральный момент второго порядка)
n r
s2 = (1/n) [ ∑ ( xi – x)2 ] = (1/n)[ ∑ ( xj – x )2 mj ]для n > 20,
i=1 j=1
n r
и s2 = [1/(n-1)] [ ∑ ( xi – x)2 ] = [1/(n-1)] [ ∑ ( xj – x)2 mj ]для n ≤ 20,
i=1 j=1
где xj -срединное значение j –го интервала.
Статистическое среднее и статистическая дисперсия являются важнейшими числовыми характеристиками статистического распределения, так как они определяют основные особенности анализируемого статистического ряда – центр группирования и степень рассеяния наблюдений относительно центра.
Чтобы мера изменчивости была выражена в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина, для характеристики рассеяния принимают также выборочное среднее квадратическое отклонение (выборочное стандартное отклонение, выборочный стандарт)
s = √ s2 .
2.3.2.Кроме статистического начального момента первого порядка (среднего арифметического) и статистического центрального момента второго порядка (выборочной дисперсии) используют как статистические характеристики – статистический центральный момент третьего порядка и статистический центральный момент четвёртого порядка.
n
Третий центральный момент μ3 = (1/n) [ ∑( xi – x )3 ]
i=1
характеризует отклонение кривой распределения от симметричной.
Для симметричного распределения (например, нормального) μ = 0.
Кривая распределения с одной вершиной при μ < 0имеет левостороннюю (отрицательную) асимметрию, а при μ > 0 –правостороннюю(положительную) асимметрию.
Асимметрия определяется как A(x) = μ3 / s3 .
Статистический центральный момент четвёртого порядка n
μ4 = (1/n)∑ (xi - x )4
i=1
характеризует островершинность (эксцесс)эмпирического распределения.
Для нормального распределения отношение μ4 / s4 = 3,и в качестве
характеристики островершинности принята величина
E(x) = μ4 / s4 – 3, которую называют эксцессом.
При E(x) < 0кривая более пологая (менее островершинная), чем при нормальном распределении.
При E(x) > 0кривая распределения более островершинная, чем при нормальном распределении.
2.3.3.Используют также такие характеристики распределения:
- мода –значение случайной величины (наработки), имеющее наибольшую вероятность (значение признака, встречающегося с наибольшей частотой);
- медиана – значение случайной величины, при котором вероятность появления величин xi, меньших x,равна вероятности появления величин, больших х(значениепризнака, относительно которого эмпирическая совокупность делится на две равные по числу членов части).
Для медианы можно дать и другое определение. Медианойназывают квантиль, отвечающую вероятности Р=0,5.
Квантилью, отвечающей вероятности Р, называют то значение х = хP ,при котором функция распределения F(x) равна Р,т.е.
F(xP ) = P(x<xP ) = P.