В выпуклом четырехугольнике ABCD угол ACB равен углу BDA . Доказать что угол ABD равен углу ACD.

 

Вариант 1

BCA и BDA опираются на отрез AB и равны друг другу.
Значит мы можем провести окружность через точки AB и вершины этих углов. Эти углы окажутся вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу.
Получится, что мы описали окружность вокруг четырехугольника.
Заметим, что углы ABD и ACD тоже являются вписанными и опирающимися на одну и ту же дугу, т.е., используя теорему о вписанном угле, получаем, что они равны друг другу .
ч.т.д.

 

 

Вариант 2

Рассмотрим треугольники OBC и OAD.
BOC=AOD (так как они вертикальные).
Тогда, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Следовательно, по определению:
OB/OA=OC/OD
Рассмотрим треугольники ABO и DCO.
AOB=COD (так как они вертикальные).
А так как OB/OA=OC/OD, то по второму признаку подобия, эти треугольники тоже подобны.
Тогда, по определению, соответствующие углы этих треугольников равны, т.е. углы ABD и ACD равны. ч.т.д.

 

26. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 48, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Проведем дополнительный отрезок и введем обозначения как показано на рисунке:
Рассмотрим треугольники AEB и AFB.
BAE - общий
EBA=90°, т.к. AE - диаметр окружности ( теорема об описанной окружности)
AFB=90°, т.к. по условию AD┴AE
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда:
AE/AB=AB/AF => AE*AF=AB²
Рассмотрим треугольники AEC и AFD.
FAD - общий
ACE=90°, т.к. AE - диаметр окружности ( теорема об описанной окружности)
AFD=90°, т.к. по условию AD┴AE
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда:
AE/AD=AC/AF => AD=AE*AF/AC
Подставляем выше найденное равенство:
AD=AB²/AC=36²/48=27
CD=AC-AD=48-27=21
Ответ: CD=21

 

 

Вариант 2

Ответы к заданиям части 1

 

№ задания	Ответ
	1,2
	0; 6
	-12,8
	-5
	1;2;3
	0,1

 

Часть 2

 

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом

 

21. Решите систему уравнений

Ответ: (1;2); ( ;0)

 

22. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а второю половину пути со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, сто она больше 40 км/ч.

Пусть х км/ч – скорость первого автомобилиста

А весь путь равен 2

Тогда

Значит 45 км/ч – скорость первого автомобилиста

Ответ: 45 км/ч.

 

23. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

 

y=m имеет с графиком одну общую точку при m = -4; -3

 

 

24. Окружность, вписанная в треугольник АВС касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы АВС, если углы треугольника МКР равны 39°, 78° и 63°

 

Пусть:
KMP=39° MKP=78° KPM=63°
Рассмотрим треугольник AMK.
AM=AK (по второму свойству касательной)
Следовательно треугольник AMK - равнобедренный, тогда, по свойству равнобедренного треугольника:
AMK=AKM
Заметим, что оба этих угла охватывают дугу MK, и следовательно равны половине ее градусной меры (по свойству углов на окружности).
MPK является вписанным в окружность углом и опирается на эту же дугу, следовательно и он равен половине градусной меры этой дуги.
Получается, что:
AMK=AKM=MPK=63°
Применив теорему о сумме углов треугольника:
180°=AMK+AKM+MAK
180°=63°+63°+MAK
MAK=54°
Аналогично, для двух других треугольников получим:
1) BKP=BPK=PMK=39°
KBP=180°-39°-39°=102°
2) CPM=CMP=MKP=78°
PCM=180°-78°-78°=24°
Ответ: 54°, 102° и 24°

 

25. Основания ВС и AD трапеции АВCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

ABCD - трапеция, следовательно, AD||BC.
CBD=ADB (т.к. это накрест-лежащие углы для параллельных прямых AD и BC).
Рассмотрим отношения сторон:
BC/BD=6/12=1/2
BD/AD=12/24=1/2
Тогда по второму признаку подобия треугольников, треугольники CBD и ADB подобны.
ч.т.д.

 

26. В трапеции АВCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается стороны АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD = 6, BC = 5.

 

По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T.
Проведем CK параллельно AB.
AK=BC (т.к. ABKC - прямоугольник).
KD=AD-AK=6-5=1
По определению косинуса: cosCDK=KD/CD=1/CD
Рассмотрим треугольники TCB и CKD.
CTB=DCK (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых TA и CK)
TBC=CKD=90°
Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Тогда, BC/KD=TC/CD
5/1=TC/CD
TC=5CD
По теореме о касательно и секущей:
TE²=TD*TC=(TC+CD)*TC=(5CD+CD)5CD=6CD*5CD=30CD²
TE=CD√30

Рассмотрим треугольники TEF и TAD.
CTB - общий
EFT=TAD=90°
Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем, что TEF=ADT.
Следовательно, cosTEF=cosADT.
EF=TE*cosTEF=TE*cosADT=TE/CD=CD√30/CD=√30
Ответ: EF=√30