Дополнение: Альтернативы Фредгольма.

Или данное неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение при любой f(x), такой, что , или соответствующее однородное уравнение имеет, по крайней мере, одно нетривиальное решение (φ(х)≠0).

Эта теорема называется первой теоремой Фредгольма.

2. Пусть λ таково, что D(λ)=0. Тогда определитель системы (32) равен нулю. Рассмотрим однородную систему при . Эта система имеет бесчисленное множество решений, среди которых р (1≤р≤n) линейно независимых ненулевых решений ( ), (k=1,2,…,p).

Функции

(k=1,2,…,p)

-нетривиальные решения однородного интегрального уравнения (f(x)=0), то есть являются собственными функциями, соответствующими данному собственному значению λ.

Итак, если D(λ)=0, то λ – собственное значение уравнения. Число р называют в это случае рангом собственного значения. Собственные функции, соответствующие λ, образуют линейное пространство размерности р. Общим решением однородного интегрального уравнения будет

.

Рассмотрим сопряженное интегральное уравнение, которое в случае действительного ядра имеет вид:

(34)

(35)

Для этого уравнения

, где (36)

(37)

Соответствующая системе (32) система имеет вид

, где (38)

;

Если g(x)=0, то и однородная система для (38) имеет вид

(38')

Матрица этой системы является сопряженной (в данном случае транспонированной) для матрицы однородной системы, соответствующей системе (32).

Из алгебры известно, что обе эти системы имеют одинаковое число линейно независимых решений.

Если ( ), k=1,2,…,p ненулевые линейно независимые решения системы (38'), то собственными функциями сопряженного уравнения будут , а - собственное значение сопряженного уравнения.

Вторая теорема Фредгольма:

Если для данного уравнения имеет место первый случай альтернативы Фредгольма, то он имеет место и для сопряженного уравнения.

Данное однородное интегральное уравнение и транспонированное к нему имеют одно и то же конечное число линейно независимых решений.

Пусть λ – собственное значение, то есть D(λ)=0, рассмотрим неоднородное интегральное уравнение (1).

Если λ – собственное значение, то есть D(λ)=0, то при произвольно взятом свободном члене f(x) уравнение, вообще говоря, не разрешимо. Однородное уравнение имеет решение φ(x)≠0.

Разрешимость уравнения (1) эквивалентна разрешимости системы (32). В алгебре доказывается, что для разрешимости системы (32). В алгебре доказывается, что для разрешимости неоднородной линейной системы (32) необходимо и достаточно, чтобы

(k=1,2,…,p)

Но и это условие можно записать

Третья теорема Фредгольма:

Неоднородное интегральное уравнение (1) при собственном значении λ разрешимо тогда и только тогда, когда f(x) ортогональна ко всем решениям сопряженного однородного уравнения, то есть

(k=