Тема 3 Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтера.

 

.Сведение дифференциальных уравнений к интегральным.

В ряде случаев решение того или иного дифференциального уравнения целесообразно сводить к решению интегрального уравнения.

Например, для доказательства существования и единственности решения дифференциального уравнения

с начальным условием удобно свести его к интегральному уравнению (нелинейному)

Сведение к интегральному уравнению возможно и для дифференциальных уравнений выше первого порядка.

 

Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

Положив

Как известно, решение уравнения

Можно представить в виде

Поэтому, нахождение решения уравнения (1.9) сводится к решению интегрального уравнения

 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

 

.Сведение дифференциальных уравнений к интегральным.

В ряде случаев решение того или иного дифференциального уравнения целесообразно сводить к решению интегрального уравнения. Например, для доказательства существования и единственности решения дифференциального уравнения

с начальным условием удобно свести его к интегральному уравнению (нелинейному)

Сведение к интегральному уравнению возможно и для дифференциальных уравнений выше первого порядка.

 

Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

 

Положив

Как известно, решение уравнения

 

Можно представить в виде

 

Поэтому, нахождение решения уравнения (1.9) сводится к решению интегрального уравнения

 

 

 

Рассмотрим пример решения уравнения Вольтерра методом дифференцирования.

 

y(x) + =

 

Решение

Дифференцируя дважды по x, получаем:

 

(x) + 2y(x)+ = 2x

 

(x) + 2 (x) + y(x) = 2 ……(1)

 

При x=0: y(0) =0 и (0)=0…….(2)

 

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения 2-го порядка имеет вид: + 2k + 1 = 0

 

Его корни = = - 1

 

Общее решение для соответствующего однородного уравнения имеет вид:

 

Y(x) = ( + x)

 

Найдем частное решение неоднородного уравнения по виду правой части:

 

Ф (х) = А, где А=2

 

Общее решение неоднородного уравнения:

 

y(x) = Y(x) + ф(x)

 

y(x) = ( + x) +2 …..(3)

 

Найдем производную (x) = - ( + x) +

 

Из условий (2) найдем при x=0:

 

 

y(0) = ( + 0) +2 = 0, = -2

 

(0) = - + = 0, = -2

 

Окончательно, y(x) = -2 ( 1+x) +2

 

2/.Решить уравнение

 

 

Продифференцируем уравнение дважды:

 

Решая получившиеся дифференциальное уравнение, с учетом условий

 

находим

 

 

Задание для самостоятельной работы:

 

Методом дифференцирования решить следующие интегральные уравнения

1)

2)

3)

4)