Тема 2 Метод последовательных приближений (метод итераций) для уравнения Фредгольма II рода

 

Было доказано существование и единственность непрерывного решения при условии, что ядро уравнения , свободный член уравнения непрерывны, а параметр λ удовлетворяет неравенству (12). Докажем этот результат при более общих предположениях на ядро уравнения (1).

 

Покажем, что если

(13)

то существует единственное решение уравнения Фредгольма (1) при

, где (14)

(15)

 

Доказательство: Для интегрального уравнения

построим последовательность приближений

 

Аналогично,

………………………………………………………………………………..

, где (16)

(17)

Функция называется «k»-тым итерированным ядром по отношению к данному ядру.

Итерированные ядра удовлетворяют следующему соотношению:

(18)

Допустим, что последовательные приближения (16) сходятся. Перейдем к пределу в (16) при n→∞:

(19)

Мы получим решение (19) уравнения (1) в виде ряда. Докажем, что этот ряд является сходящимся.

Пусть

(следует из (13)). Имеем

По неравенству Буняковского - Шварца (неравенство Гельдера для интегралов)

Проинтегрируем неравенство по ξ:

Отсюда для верхних граней интегралов выполняется соотношение:

(k=1,2,…)

Отсюда

В (19) общий член ряда оценивается следующим образом:

, то есть

, где (20)

Рассмотрим мажорантный геометрический ряд

Он сходится, если В|λ|<1, то есть при . Значит, ряд в формуле (19) равномерно и абсолютно сходится при

Формула (19) определяет единственное решение уравнения (1).

 

 

Докажем единственность решения:

Допустим противное: существует два решения и , то есть

Вычитая почленно и обозначая - =ω(х), получим:

(21)

Или (22)

 

Проинтегрируем неравенство по х:

Или

Но так как , то >0 => ≤0 => =0

Но тогда из (22): ≤0 => ω(x)=0 или = при x [a,b].

 

Теорема доказана.

 

Замечания:

На практике метод последовательных приближений (метод итераций) может дать только приближенное решение интегрального уравнения, так как ряды, как правило, не суммируются, в конечном счете. В тех случаях, когда сумму ряда в формуле (19) можно найти без труда, оказывается возможным с помощью того или иного специального приема решить интегральное уравнение, не прибегая к наложенной выше теории.

 

2) Условия теоремы достаточные, но не необходимые. Решение может существовать и при , но оно не может быть найдено методом приближенных вычислений. В этом случае применяются другие методы решения уравнений.

 

Вывод: если имеет место (12), то ряд (9) сходится равномерно и абсолютно.

 

 

Пример:

Рассмотрим уравнение:

где

Здесь 0,1

 

 

Итак, последовательные приближения сходятся. Если в ряде (5) §2 ограничиться «n» членами, то ошибка не превосходит величины – сумма б. убыв. геометрической прогрессии, начиная с «n+1» - члена прогрессии.

Найдем приближенное решение, ограничиваясь тремя: приближениями. При этом мы оставляем в ряде три члена, а ошибка не превосходит

Если взять два приближения:

 

 

Имеем последовательные приближения:

 

Если мы положим , то погрешность не будет превосходить 0,0001.

 

Подробнее: