Тема 2 Метод последовательных приближений (метод итераций) для уравнения Фредгольма II рода
Было доказано существование и единственность непрерывного решения при условии, что ядро уравнения , свободный член уравнения непрерывны, а параметр λ удовлетворяет неравенству (12). Докажем этот результат при более общих предположениях на ядро уравнения (1).
Покажем, что если
(13)
то существует единственное решение уравнения Фредгольма (1) при
, где (14)
(15)
Доказательство: Для интегрального уравнения
построим последовательность приближений
Аналогично,
………………………………………………………………………………..
, где (16)
(17)
Функция называется «k»-тым итерированным ядром по отношению к данному ядру.
Итерированные ядра удовлетворяют следующему соотношению:
(18)
Допустим, что последовательные приближения (16) сходятся. Перейдем к пределу в (16) при n→∞:
(19)
Мы получим решение (19) уравнения (1) в виде ряда. Докажем, что этот ряд является сходящимся.
Пусть
(следует из (13)). Имеем
По неравенству Буняковского - Шварца (неравенство Гельдера для интегралов)
Проинтегрируем неравенство по ξ:
Отсюда для верхних граней интегралов выполняется соотношение:
(k=1,2,…)
Отсюда
В (19) общий член ряда оценивается следующим образом:
, то есть
, где (20)
Рассмотрим мажорантный геометрический ряд
Он сходится, если В|λ|<1, то есть при . Значит, ряд в формуле (19) равномерно и абсолютно сходится при
Формула (19) определяет единственное решение уравнения (1).
Докажем единственность решения:
Допустим противное: существует два решения и , то есть
Вычитая почленно и обозначая - =ω(х), получим:
(21)
Или (22)
Проинтегрируем неравенство по х:
Или
Но так как , то >0 => ≤0 => =0
Но тогда из (22): ≤0 => ω(x)=0 или = при x [a,b].
Теорема доказана.
Замечания:
На практике метод последовательных приближений (метод итераций) может дать только приближенное решение интегрального уравнения, так как ряды, как правило, не суммируются, в конечном счете. В тех случаях, когда сумму ряда в формуле (19) можно найти без труда, оказывается возможным с помощью того или иного специального приема решить интегральное уравнение, не прибегая к наложенной выше теории.
2) Условия теоремы достаточные, но не необходимые. Решение может существовать и при , но оно не может быть найдено методом приближенных вычислений. В этом случае применяются другие методы решения уравнений.
Вывод: если имеет место (12), то ряд (9) сходится равномерно и абсолютно.
Пример:
Рассмотрим уравнение:
где
Здесь 0,1
Итак, последовательные приближения сходятся. Если в ряде (5) §2 ограничиться «n» членами, то ошибка не превосходит величины – сумма б. убыв. геометрической прогрессии, начиная с «n+1» - члена прогрессии.
Найдем приближенное решение, ограничиваясь тремя: приближениями. При этом мы оставляем в ряде три члена, а ошибка не превосходит
Если взять два приближения:
Имеем последовательные приближения:
Если мы положим , то погрешность не будет превосходить 0,0001.
Подробнее: