Показатели вариации

В практическом анализе оценка рассеяния значений признака может оказаться не менее важной, чем определение средней.

Самая грубая оценка рассеяния, определяемая по данным вариационного ряда, может быть дана с помощью размаха вариации:

, где х_т_aх и х_т_in — наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака.

Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака, например, каковы колебания цены на данный товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок времени.

Однако этот показатель не дает представления о характере вариационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и может сильно меняться, если добавить или исключить крайние варианты (когда эти значения аномальны для данной совокупности). В этих случаях размах вариации дает искаженную амплитуду колебания против нормальных ее размеров.

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния.Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся: среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение – среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней величины:

для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: ,

где x_i – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;

f_i - частота признака.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дает абсолютную меру вариации.

Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от средней, можно вместо абсолютных отклонений использовать их квадраты. В этом случае мера вариации называется дисперсией.

Для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: .

Исчисление дисперсии сопряжено с громоздкими расчетами, которые можно упростить, если использовать следующую формулу:

Вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии вводят еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак, и исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: .

Среднее квадратическое отношение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Отклонение, выраженное в s, называется нормированным или стандартизированным.

Для оценки меры вариации и ее значимости используется коэффициент вариации, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, результат выражается в процентах:

Так как коэффициенты вариации дают относительную характеристику однородности явлений и процессов, они позволяют сравнивать степень вариации разных признаков. Интерпретируется следующим образом: если V < 33% , то исследуемая совокупность однородная, средняя типичная; если V > 33% , то совокупность разнородная, средняя фиктивная, к ней следует относиться осторожно.

Пример. По приведенным данным таблицы смертности вычислить всевозможные показатели вариации:

Таблица 2. Расчетная таблица для исчисления показателей вариации.

Группы по возрасту	Мужчины f_i	Середина интервала x_i	Расчетные показатели

0-4				1002,9889	16125052,55
5-9				711,2889	11279619,38
10-14				469,5889	11270603,19
15-19				277,8889	9191453,26
20-24				136,1889	4390866,32
25-29				44,4889	1325546,78
30-34				2,7889	96677,22
35-39				11,0889	288766,04
40-44				69,3889	2078266,94
45-49				177,6889	4889998,53
50-54				335,9889	8000567,69
55-59				544,2889	5706324,83
60-64				802,5889	11999506,64
65-69				1110,8889	9965784,32
70 и старше				1469,1889	20351204,64
Итого				7166,3335	116960238,33

По выполненным расчетам вычисли показатели вариации:

Дисперсия:

или .

Среднее квадратическое отклонение: , то есть в среднем возраст мужчин отклоняется от33,67 лет на 18,51 год.

Коэффициент вариации , так как больше 33%, следовательно, структура разнородная, средняя фиктивная, к ней надо относиться осторожно.

Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку и для этих групп могут быть найдены средний уровень и дисперсия, то при объединении частных групп в совокупность требуется оценить вариации показателей объединенной совокупности на основе показателей отдельных частных групп. Вариация признака в целом по совокупности, то есть общая дисперсия, характеризуется вариацией признака под влиянием всех факторов, действующих в данной совокупности. Межгрупповая дисперсия – обусловлена вариацией признака, положенного в основание группировки, внутригрупповая дисперсия обусловлена вариацией всех остальных признаков, неучтенных группировкой. Общую дисперсию можно представить в виде суммы двух дисперсий: межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия: ;

Межгрупповая дисперсия: ;

Внутригрупповая дисперсия: ,

где x_i - значения признака;

- среднее значение признака в каждой группе;

- общая средняя;

N_i - число единиц совокупности в i-ой группе.

N - объем выборки;

k - число значений признака;

m - число групп;

- дисперсия в i-ой группе.

Если межгрупповая дисперсия мала по сравнению с общей дисперсией, то группировочный признак оказывает слабое влияние на формирование уровней в совокупности и елико влияние всех остальных признаков, неучтенных группировкой.

Количественно меру влияния группировочного признака можно определить по показателю, который называется эмпирическое корреляционное отношение:

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1. Если связь отсутствует, то . В этом случае дисперсия групповых средних равна нулю , то есть межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака. Если связь функциональная, то . В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии , то есть не будет внутригрупповой вариации. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого признака. Чем ближе значение корреляционного отношения приближается к единице, тем сильнее связь между признаками.

Таблица 3. Качественная оценка связи между признаками.

h	Связь	h	Связь
	Отсутствует	0,5-0,7	Заметная
0-0,2	Очень слабая	0,7-0,9	Тесная
0,2-0,3	Слабая	0,9-0,99	Весьма тесная
0,3-0,5	Умеренная		Функциональная

Пример. Рассчитать дисперсию и эмпирическое корреляционное отношение по следующим данным:

Место проживания пенсионеров	Средний размер месячных пенсий, тыс. руб.	Численность пенсионеров, тыс. чел. N_i	Дисперсия пенсионного пособия в области (группе)
Курская область	264,3	341,4
Курганская область	310,4	235,5
Камчатская область	490,4	38,9
Итого	296,2	615,8	6171,2

Сначала найдем средний размер месячных пенсий по трем областям в целом:

Вариация назначенных пенсионных пособий в отдельных областях, обусловленная различием в местах проживания пенсионеров, характеризуется межгрупповой дисперсией:

Средняя из групповых дисперсий дает обобщающую характеристику случайной вариации, обусловленную всеми остальными факторами, кроме места проживания пенсионеров (например, характером занятости, стажем работы и т. п.):

Вариация пенсионного пособия в изучаемых областях, обусловленная влиянием всех факторов, вместе взятых определяется общей дисперсией:

Сопоставляя межгрупповую дисперсию с общей, рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

Полученное значение позволяет утверждать, что существует заметная связь между местом проживания пенсионеров и размером назначенного пособия (см. табл. 3).

Контрольные вопросы

Дисперсия – смысл показателя и метод расчета.
Среднее квадратическое отклонение. Правило трех сигм.
Коэффициент вариации. Его интерпретация.
Эмпирическое корреляционное отношение как мера влияния группировочного признака.