Использование линейного и динамического программирования в экономическом анализе

Применительно к экономическому анализу сущность линейного программирования можно сформулировать как совокупность математических приемов, позволяющих в условиях ограниченных ресурсов по принятому критерию оптимальности из всех возможных вариантов хозяйственных решений (или из всех вариантов плана действий) выбрать один (оптимальный) или несколько наилучших (рациональных) вариантов. С помощью методов линейного программирования исчисляют: оптимальную производительность машин, агрегатов, поточных линий, решаются задачи оптимального раскроя материалов и т.п. Все такие задачи отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Ценность их использования заключается в выборе оптимального из большого количества альтернативных вариантов.

Задача может быть сформулирована следующим образом: рассмотрим производство, в котором участвует N ингредиентов (производственные факторы, сырье, промежуточные и конечные продукты). Имеется r технологических способов производства товара. Каждый из способов характеризуется вектором

as = (as₁, as₂,... , as_N)

Положительные компоненты этого вектора показывают объем производства соответствующего ингредиента, отрицательные компоненты - затраты при применении способа с единичной интенсивностью. Например, аs =(-1, 2, -3) можно трактовать так: затрачивается 1 единица времени, производится 2 единицы продукта себестоимостью производства 3 единицы. Трактовка ингредиентов определяется физическим смыслом задачи. Оптимальный план определяется выбором вектора с неотрицательными компонентами, указывающими интенсивность применения различных технологических способов p = (x₁, x₂,...x_r), при котором товары и затраты характеризуются вектором

Если a^p_i > 0, то i-й ингредиент производится; если же a^p_i < 0, то расходуется в размере абсолютной величины.

Первые m < N ингредиентов представляют расходуемые ресурсы (оборудование, рабочая сила, материалы, денежные средства и т.д.), по ним задаются ограничения вида

Если b_i > 0, то соответствующий ингредиент производится; если b_i = 0, то соответствующий ингредиент не должен расходоваться; если b_i < 0, то соответствующий ингредиент расходуется и расход его не должен превзойти |b_i|

По остальным n = N - m ингредиентам необходимо добиваться максимального выпуска продукции с учетом требуемого ассортимента k_j =(k₁,k₂,...k_n), т.е.

Все другие задачи линейного программирования являются частным случаем этой общей задачи и могут быть сведены к ней.

Оптимальное решение может быть получено с помощью различных методов (последовательного улучшения плана или корректировки множителей Л.В.Канторовича, симплекс-метода или других методов в зависимости от класса сформулированной задачи).

Полученный оптимальный план может быть проанализирован. Экономический анализ позволяет выявить:

- дефицитные ресурсы (узкие места), это ресурсы, для которых выполняется равенство при i= 1,...,m;

- избыточные ресурсы, это ресурсы для которых выполняется неравенство при i= 1,...,m;

- объем избытка данного вида ресурса составляет величину

- дефицитную продукцию, это продукция, для которой выполняется равенство при j = 1,...,n;

- продукцию, которая производится в избытке; это продукция, для которой выполняется неравенство

при j = 1,...,n;

- объем избытка продукции данного вида составляет

- экономическую целесообразность внедрения в производство s₀-ого технологического способа; новый технологический способ экономически выгодно внедрять, если будет выполнено условие

- экономическую целесообразность увеличения отдельных видов дефицитных ресурсов на величину ɛ_io . В последнем случае необходимо решать новую задачу, в которой в качестве ограничения на дефицитный ресурс i₀ выступает неравенство

 

Если в результате решения новой задачи увеличится значение целевой функции, то увеличение объема этого вида ресурса экономически выгодно, в противном случае - нет. В первом случае одновременно определяется

где x_s^* - новое искомое оптимальное значение интенсивности использования технологических способов производства.

Возможности приобретения дополнительных дефицитных ресурсов представляют огромное поле для экономического анализа и выявления предпочтений их внедрения в производство.

Примером наиболее часто решаемой задачи нелинейного динамического программирования является задача логистики (оптимизация загрузки транспортного средства). В большинстве случаев такие задачи ЭВМ решает методом полного перебора вариантов. Более подробно данный класс задач изучается в курсе Логистики. Часть задач этого класса относится к задачам нахождения экстремума целевой функции.

Использование методов сетевого планирования в экономическом анализе

Сетевое планирование и управление предназначено для управления объектами любого типа, получившими название комплексов работ (комплексов операций, проектов, разработок, тем). Для выявления резервов ускорения выполнения комплексов работ широко используются в аналитической практике сетевые графики. Они представляют собой модель планируемого производственного процесса, элементами которого являются: событие, работа, ожидание, зависимость. Непрерывная последовательность проведения работ с учетом их зависимости в планируемом производственном процессе называется путем. В сетевом графике имеется несколько путей между начальным и конечным событиями. Длина пути определяется суммой продолжительности работ. Путь наибольшей длины между начальным и конечным событиями называется критическим. Его продолжительность определяет срок выполнения всего комплекса работ.

Работы, не находящиеся на критическом пути, в отличие от работ, лежащих на нем, имеют запасы времени. Выявление резервов времени позволяет маневрировать производственными ресурсами и тем самым достигать сокращения общих сроков выполнения комплекса работ или расхода ресурсов.

На основе сетевых графиков в настоящее время развернута система сетевого планирования и управления (СПУ). Она широко применяется в строительстве, при управлении крупными научно-техническими разработками, сложными проектами проектирования или выполнения индивидуальных заказов.

В этой модели исходной информацией является: сеть с единственным исходным i₀ и единственным завершающим событием i_w; продолжительность t_ij всех работ сети. Кроме того, исходная информация может содержать момент начала выполнения комплекса T(i₀) = T₀ и установленный срок завершения комплекса работ T_дир. Требуется составить план выполнения работ, т.е. определить момент начала Тн ij и окончания To ij выполнения каждой работы(ij), т.е. определить моменты наступления событий Ti и окончания Tj, удовлетворяющие условиям:

 

для всех таких работ, что работа (ij) предшествует (kl);

Оптимизация модели сводится к расчету параметров:

- ранний срок начала и окончания работы

Tрн ij = Tр i, Tро ij = Tpi + tij;

- каждый срок начала и окончания работы

Tпн ij = Tpj - tij; Tпо ij = Тпj;

- резерв времени свершения события Ri = Tпi - Tpi;

- критическое время (Ткр), т.е. минимальное время в течение которого может быть выполнен весть комплекс;

- критический путь (Lкр), т.е. путь, продолжительность которого равна критическому времени, т.е. Т(Lкр) = Tкр;

- резерв пути, характеризующий предельно допустимое увеличение продолжительности этого пути R(Li) = T(Lкр) - T(Li);

- полный резерв времени работы, показывающий максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя директивный срок наступления завершающего события

r_ij = Tпн j - Tрн ij = Tпо ij - Tро ij ,

(при управлении эти работы заслуживают особого внимания, т.к. при небольших отклонениях в сроках их выполнения они становятся критическими);

- частный резерв времени работы, показывающий на какое время можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения начала выполнения последующих работ r^/_ij = Tрн jk - Tро ij , k>j

Кроме критических, из всех работ особо выделяются подкритические, у которых полный резерв отличается от минимального не более чем на заданную величину. Подкритические работы заслуживают особого внимания при выработке решений по управлению в связи с тем, что при небольших отклонениях в сроках выполнения они становятся критическими. Множество всех критических и подкритических работ называют критической зоной комплекса. Работы критической зоны - объект пристального анализа, направленного на оптимизацию их выполнения и обеспечения данных работ всеми не обходимыми ресурсами в установленные сроки.