ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Если возможные значения дискретной случайной величины X неотрицательны и существует ее математическое ожидание M(X)= а , то для любого числа A>0 справедливо неравенство
(9.1)
В этом случае выполняется неравенство 
(9.2)
Неравенства (9.1) и (9.2) называют неравенствами Маркова
Если X – случайная величина, математическое ожидание которой M(X)= а,
а дисперсия D(X) конечна, то для любого числа e> 0 выполняются неравенство:
(9.3)
(9.4)
Теорема Чебышева. Если случайные величины X1, X2 ,…Xn независимы, имеют математическое ожидание M(Xi) и дисперсии D(Xi) , ограниченные одним и тем же числом С , то для любого числа e> 0 выполняется неравенство
. (9.5)
Отсюда следует, что
. (9.6)
Если все случайные величины Xi (i=1,2,3,…n) имеют одно и то же математическое ожидание M(Xi) =а (i=1,2,…,n) , то неравенство (9.5) принимает вид
(9.7)
переходя к пределу при n → ∞ , отсюда получают
(9.8)
Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна , то вероятность того что отклонение частоты т/п от вероятности p по модулю не превзойдёт числа e > 0 , больше чем разность 1-pq/ n e ² , т.е
. (9.9)
Отсюда следует, что
. (9.10)
Теорема Чебышева. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна , то вероятность того что отклонение частоты т/п от вероятности p по модулю не превзойдёт числа e > 0 , больше чем разность 1-pq/ n e ² , т.е.
. (9.11)
Пример 1. Для случайной величины Х известна дисперсия D(X)=0,01 и неравенство 
. Найти значение e.
Решение. Согласно формуле (9.4) получаем 
. По условию .
Из этих двух равенств следует, что 
Ответ : e³0,5.
Пример 2. Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях интегрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше чем на 0,01.
Решение. Воспользуемся неравенством (9.5). В данном случае п=1000, р=1/6, q=5/6, поэтому
.
Ответ : 0,86.
Пример 3.При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства 
превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р=0,7?
Решение.По условию задачи имеем: e=0,2, р=0,7, поэтому q=0,3; требуется определить п с помощью неравенства (9.5). Условие P>0,96 равносильно неравенству 
При подстановке значений р=0,7, q=0,3 и e=0,2 в последнее неравенство находим, что 
Следовательно, требуемое неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.
Ответ : n≥132.