ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.
Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.
Пусть событие А может произойти лишь вместе с одним из событий В1, В2, В3,…,Вn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(В1), Р(В2), Р(В3),…,Р(Вn). Так как события Вi образуют полную группу, то 
. Так же известны и условные вероятности события А : Р(А/B1), Р(А/B2),…, Р(А/Bi),…, Р(А/Bn). Так как заранее неизвестно с каким из событий Вi произойдет событие А, то события Вi называют гипотезами.
Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Вi с учетом полной информации о событии А.
Вероятность события А определяется как:
. (5.1)
Эта вероятность называется полной вероятностью.
Если событие А может наступить только с одним из событий В1, В2, В3,…,Вn, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, В3,…,Вn, на соответствующую условную вероятность события А.
Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:
(5.2)
Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т. Байеса, опубликовавшего их в 1764 году), где в знаменателе P(A)- полная вероятность.
Пример 1. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?
Решение. Определим события: А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А –« акции компании поднимутся в цене в будущем году»- может произойти только вместе с одной из гипотез: B1 –экономика страны будет на подъеме и B2 –экономика страны не будет успешно развиваться.
По условию известны вероятности гипотез: P(B1)= 0,8; P(B2)= 0,2
и условные вероятности события А: P(А/B1)= 0,75; P(А/B2)= 0,3.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А – это (или B1А или B2А). События B1А и B2А – несовместные попарно, так как события B1 и B2 – несовместны.
События B1 и А, B2 и А – зависимые.
Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:
Ответ: 0,66.
Пример 2. Экономист полагает, что в течении периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4; и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течении любого периода времени вероятность активного экономического роста роста 0,3, умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста равна 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?
Решение.Определим события: А – «доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: B1 –«активный экономический рост»; B2 –«умеренный экономический рост»; B3–«низкий экономический рост».
По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:
P(B1)= 0,3; P(B2)= 0,5; P(B3)= 0,2.
P(А/B1)= 0,7; P(А/B2)= 0,4; P(А/B3)= 0,2.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. 1.Событие А – это (или B1А, или B2А, или B3А). События B1А и B2А и B3А – несовместные попарно, так как события B1, B2 и B3 – несовместны.События B1 и А, B2 и А,А и B2 – зависимые.По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть P(B1/А)-?
Используя формулу Байеса (5.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:
Ответ: 0,467.