Пример 10.
Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью распределения вероятностей 
Требуется:
a. найти коэффициент А;
b. найти функцию распределения F(x);
c. построить график функций f(x) и F(x);
d. найти математическое ожидание и дисперсию Х;
e. найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β), если
α = 1, β = 2.
Решение:
1) Так как все значения случайной величины заключены в промежутке [0,3], то 
.
2) Воспользуемся формулой 
.
Если x<0, то f(x) = 0 и 
.
Если 0 ≤ х ≤ 3, то 
.
Если х > то 
.
Искомая функция распределения имеет вид:
3) Строим графики функций f(x) и F(x):
Рис. 1 Рис. 2
1) Математическое ожидание
.
Дисперсия:
5) 
.
Пример 11.Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
Найти параметр А и плотность распределения f(x).
Решение. 
Известно, что 
, 
, откуда 
, или А = 1. Таким образом
Пример 12. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а = 30 и σ = 10. Требуется:
1) написать плотность вероятности и схематически построить ее график;
2) определить вероятность попадания Х в интервале (10, 50);
3) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а = 30 не более чем на 
.
15. Решение. По заданным параметрам случайной величины Х плотность вероятности будет иметь вид 
Схематически строим график: 
; 
Рис. 3
2) Применяя формулу 
, получим
.
По таблице значений функции Лапласа находим 
. Следовательно Р(10< X <50) = 2∙0,4772=0,9544.
3) Вероятность отклонения находим по формуле
. Подставив данные, получим
, где по таблице 
.
Пример 13. Дана выборка:
Требуется:
1) определить размах варьирования значений СВ Х и составить вариационный ряд распределения СВ Х;
2) составить интервальный вариационный ряд распределения;
3) найти выборочное среднее 
, выборочную дисперсию Dв, выборочное среднее квадратическое отклонение σв, моду Мо, медиану Ме и коэффициент вариации δв выборки;
4). построить эмпирическую функцию распределения F*(х).
5) построить гистограмму относительных частот и линию эмпирической плотности;
6) пользуясь критерием Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05, предварительно вычислив для каждого интервала группирования вариационного ряда выравнивающие частоты;
7) на гистограмме относительных частот нанести линию плотности f(x) нормального распределения;
8) найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания М(Х) генеральной совокупности случайной величины с надежностью γ = 0,95.
Решение: 1. Объем выборки п = 100, минимальное значение xmin= 46, максимальное хmax = 85, размах варьирования R = 39.
Составляем вариационный ряд:
Таблица 1
| xi | |||||||||||||||||
| ni |
| xi | |||||||||||||||||||
| ni |
Проверка: 
(объем выборки).
2. По формуле Стерджеса определяем длину интервалов h
.
Округляем полученное значение до ближайшего целого числа. Принимаем длину интервала h= 5. За начало интервала принимаем значение 
. Составляем интервальный вариационный ряд распределения СВ Х, группируя исходные данные в интервалы с шагом h. Число интервалов k= 9.
Таблица 2
| № интервала | Границы интервалов | Частоты пi | Относительные частоты wi | Середины
интервалов 
| Плотность частоты wi / h | Накопленные частости wi нак. | ||
| начало xi | конец xi+1 | |||||||
| 43,5 | 48,5 | 0,02 | 0,004 | 0,02 | ||||
| 48,5 | 53,5 | 0,11 | 0,022 | 0,13 | ||||
| 53,5 | 58,5 | 0,12 | 0,024 | 0,25 | ||||
| 58,5 | 63,5 | 0,15 | 0,030 | 0,40 | ||||
| 63,5 | 68,5 | 0,21 | 0,042 | 0,61 | ||||
| 68,5 | 73,5 | 0,15 | 0,030 | 0,76 | ||||
| 73,5 | 78,5 | 0,15 | 0,030 | 0,91 | ||||
| 78,5 | 83,5 | 0,05 | 0,010 | 0,96 | ||||
| 83,5 | 88,5 | 0,04 | 0,008 | 1,00 | ||||
| Контроль | 
| 
| ||||||
3. Находим выборочное среднее 
, выборочную дисперсию Dв, выборочное среднее квадратическое отклонение 
, моду Мо, медиану Ме и коэффициент вариации δв.
; 
; 
.
Для контроля вычислений и исключения арифметических ошибок целесообразно расчеты сумм, входящих в формулы 
и Dв провести с помощью табл. 3 следующего вида:
Таблица 3
| пi | 
| 
| 
| 
| 
|
| -19,8 | 392,04 | 784,08 | |||
| -14,8 | 219,04 | 2409,94 | |||
| -9,8 | 96,04 | 1152,48 | |||
| -4,8 | 23,04 | 345,60 | |||
| 0,2 | 0,04 | 0,84 | |||
| 5,2 | 27,04 | 405,60 | |||
| 10,2 | 104,04 | 1560,60 | |||
| 15,2 | 231,04 | 1155,20 | |||
| 20,2 | 408,04 | 1632,16 | |||
| - | 
| - | - | 
|
Окончательно получим: 
;
;
.
По вариационному ряду (табл.1) устанавливаем величины моды и медианы выборки: 
(или 67) – значения выборки имеют наибольшую частоту; 
– значения серединного элемента вариационного ряда.
Коэффициент вариации 
.
4. Построим эмпирическую функцию распределения F*(x). Используя данные таблицы 2 
находим значения этой функции, а затем строим график.
(указаны середина интервалов 
)
Рис. 4
5. Строим гистограмму относительных частот, используя данные таблицы 2.
(указаны границы интервалов)
Рис. 5
Соединив отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников, получаем линию эмпирической плотности.
По виду гистограммы относительных частот и линии эмпирической плотности принимаем нулевую гипотезу Но о том, что распределение рассматриваемой СВ Х подчиняется нормальному закону распределения.
6. Для каждого интервала варьирования, используя данные таблицы 2 предыдущего примера, находим теоретические выравнивающие частоты по формуле
,
где Φ(z) – табличные значения функции Лапласа, 
, 
.
В рассматриваем примере 
(девять интервалов), 
, σв= 9,72, п = 100. Данные расчеты представим в таблице 4. При использовании приведенной формулы теоретических частот наименьшее значение аргумента функции Лапласа zi для первого интервала выборки принято равным –∞ (Φ (-∞) = –0,5), а наибольшее значение аргумента zi+1 для последнего интервала +∞ (Φ (+∞) = 0,5).
Таблица 4
| № интервала | Границы интервалов | zi | zi+1 | Φ(zi) | Φ(zi+1) | Φ(zi+1) – Φ(zi) | пТi | |
| xi | xi+1 | |||||||
| 43,5 | 48,5 | -∞ | -1,78 | -0,5 | -0,4625 | 0,0375 | 3,75 | |
| 48,5 | 53,5 | -1,78 | -1,26 | -0,4625 | -0,3962 | 0,0663 | 6,63 | |
| 53,5 | 58,5 | -1,26 | -0,75 | -0,3962 | -0,2734 | 0,1228 | 12,28 | |
| 58,5 | 63,5 | -0,75 | -0,24 | -0,2734 | -0,0948 | 0,1786 | 17,86 | |
| 63,5 | 68,5 | -0,24 | 0,28 | -0,0948 | 0,1103 | 0,2051 | 20,51 | |
| 68,5 | 73,5 | 0,28 | 0,79 | 0,1103 | 0,2852 | 0,1749 | 17,49 | |
| 73,5 | 78,5 | 0,79 | 1,31 | 0,2852 | 0,4049 | 0,1197 | 11,97 | |
| 78,5 | 83,5 | 1,31 | 1,82 | 0,4049 | 0,4656 | 0,0607 | 6,07 | |
| 83,5 | 88,5 | 1,82 | +∞ | 0,4656 | 0,5 | 0,0344 | 3,44 | |
| Σрi = 1 | Σпi= 100 |
Проверка: 
; 
.
Проводим сопоставление эмпирических (по данным выборки) частот пi с полученными выравнивающими частотами (табл. 5).
Таблица 5
| пi | |||||||||
| пТi | 3,75 | 6,63 | 12,28 | 17,86 | 20,51 | 17,49 | 11,97 | 6,07 | 3,44 |
Объединяем малочисленные частоты (пi, пТi < 5) на левом и правом концах выборки с соседними интервалами и получаем окончательную таблицу с числом частичных интервалов S=7.
Таблица 6
| пi | |||||||
| пТi | 10,38 | 12,28 | 17,86 | 20,51 | 17,49 | 11,97 | 9,51 |
Проверяем согласие гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой СВ Х по критерию Пирсона.
Число степеней свободы k=s–1–r = 7–1–2 = 4, где s − число интервалов, а k − число параметров нормального распределения. По таблице критических точек распределения χ2 для уровня значимости α = 0,05 находим: χ2кр = 9,5 (см. табл. 3 приложения).
Так как χ2набл.< χ2кр, следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения СВ Х принимается.
7. На гистограмме относительных частот (рис. 2) построим линию теоретической плотности нормального закона распределения 
.
В рассматриваемом случае полагаем 
, σ ≈ σв.
Тогда формула для плотности вероятности принимает вид:
.
Найдем максимум функции f(x) и значения функции в точках перегиба:
,
.
Выберем на оси х на участке гистограммы еще несколько точек, в качестве которых
удобно выбрать точки с координатами 
и 
:
;
.
По полученным значениям f(x) на гистограмме относительных частот наносим линию теоретической плотности нормального распределения ( на рис. 2 расчетные точки показаны кружками).
8. Находим доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания СВ Х.
,
где 
, γ = 0,95 ( по условию задачи);
tγ = t(γ, n) = t (0,95; 100) = 1,984, (см. табл. 4 приложения)
.
65,80 – 1,94 < a < 65,80 + 1,94, т.е. 63,86 < a < 66,74.
На основании проведенных расчетов можно сделать вывод о том, что с вероятностью γ = 0,95 неизвестное математическое ожидание СВ Х находится в интервале (63,86; 66,74).
Пример 13. Найти выборочное уравнение прямой регрессии У на Х: 
для двумерной случайной величины (Х, У), значения которой представленны в корреляционной таблице:
Таблица 7
 Х
У
| пу | |||||
| - | - | - | ||||
| - | ||||||
| - | - | |||||
| пх |
Построить график линии регрессии на корреляционном поле. При проверке значимости коэффициента корреляции принять доверительную вероятность γ = 0,95.
1. Используя данные корреляционной таблицы определяем 
, σ2х , σ2у , σх , σу , сху , rв.
Предварительно вычислим суммы:
;
;
;
;
Средние арифметические значения:
; 
.
Дисперсия и средние квадратические отклонения:
D(X) = 
;
D(Y) = 
;
; 
.
Корреляционный момент
.
Выборочный коэффициент корреляции 
.
2. Приняв доверительную вероятность γ = 0,95 при п = 100 и числе степеней свободы k = n – 2 = 98 по таблице распределения Стьюдента (см. табл. 4 приложения) определяем значение
tкр = t0,95; 98 ≈ 1,99.
Вычисляем статистику 
.
; 
.
Так как 
, то гипотезу об отсутствии линейной корреляции между СВ Х и У отвергаем.
3. Находим уравнение линии эмпирической регрессии:
.
4. В системе координат х и у, используя корреляционную таблицу, соответствующими точками изображаем корреляционное поле и наносим прямую выборочной регрессии согласно полученного уравнения. На корреляционное поле (рис. 3) цифрами показано количество совпадающих точек. Положение прямой линии регрессии 
соответствует расположению экспериментальных точек.
Рис. 6
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Таблица значений функции 
, 
| х | ||||||||||
| 0,0 | 0,3989 | |||||||||
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0,3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | 0,2420 | |||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 | ||||||||||
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | 0,0540 | |||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2,2 | ||||||||||
| 2,3 | ||||||||||
| 2,4 |
| х | |||||||||||||
| 2,5 | |||||||||||||
| 2,6 | |||||||||||||
| 2,7 | |||||||||||||
| 2,8 | |||||||||||||
| 2,9 | |||||||||||||
| 3,0 | 0,0044 | ||||||||||||
| 3,1 | |||||||||||||
| 3,2 | |||||||||||||
| 3,3 | |||||||||||||
| 3,4 | |||||||||||||
| 3,5 | |||||||||||||
| 3,6 | |||||||||||||
| 3,7 | |||||||||||||
| 3,8 | |||||||||||||
| 3,9 | |||||||||||||
Таблица 2
Таблица значений функции 
, 
| х | ||||||||||
| 0,0 | 0,00000 | |||||||||
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0,3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | ||||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 | ||||||||||
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | ||||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2,2 | ||||||||||
| 2,3 | ||||||||||
| 2,4 | ||||||||||
| 2,5 | ||||||||||
| 2,6 | ||||||||||
| 2,7 | ||||||||||
| 2,8 | ||||||||||
| 2,9 | ||||||||||
| 3,0 | 0,49865 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | |||||
| 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | 3,9 | ||||||
| 4,0 | ||||||||||
| 4,5 | ||||||||||
| 5,0 | ||||||||||
Таблица 4 Таблица 3
Таблица значений tγ = t(γ, n) Критические точки распределения χ2
| n\γ | 0,95 | n\γ | 0,95 | Число степеней свободы k | Уровень значимости 
| ||
| 2,78 | 2,093 | 0,01 | 0,05 | ||||
| 2,57 | 2,064 | ||||||
| 2,45 | 2,045 | 6,6 | 3,8 | ||||
| 2,37 | 2,032 | 9,2 | 6,0 | ||||
| 2,31 | 2,023 | 11,3 | 7,8 | ||||
| 2,26 | 2,016 | 13,3 | 9,5 | ||||
| 2,23 | 2,009 | 15,1 | 11,1 | ||||
| 2,20 | 2,001 | 16,8 | 12,6 | ||||
| 2,18 | 1,996 | 18,5 | 14,1 | ||||
| 2,16 | 1,001 | 20,1 | 15,5 | ||||
| 2,15 | 1,987 | 21,7 | 16,9 | ||||
| 2,13 | 1,984 | 23,2 | 18,3 | ||||
| 2,12 | 1,980 | 24,7 | 19,7 | ||||
| 2,11 | ∞ | 1,960 | 26,2 | 21,0 | |||
| 2,10 | 27,7 | 22,4 | |||||
| 29,1 | 23,7 | ||||||
| 30,6 | 25,0 | ||||||
| 32,0 | 26,3 | ||||||
| 33,4 | 27,6 | ||||||
| 34,8 | 28,9 | ||||||
| 36,2 | 30,1 | ||||||
| 37,6 | 31,4 |