Уравнение

или

называется каноническим уравнением гиперболического типа; уравнение

– каноническим уравнением параболического типа; уравнение

– каноническим уравнением эллиптического вида.

Дифференциальное уравнение:

(1.11)

называется уравнением характеристик.

При решении задач можно воспользоваться представлением уравнения (1.11) в виде системы двух уравнений:

(1.12)

Для приведения дифференциального уравнения к каноническому виду необходимо записать уравнение характеристик и найти его общие решения.

Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: ; , т.е. существует два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных , дифференциальное уравнение приводится к каноническому виду.

Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл .

В этом случае нужно произвести замену переменных , , где – любая функция, удовлетворяющая условию или (например, или ). После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.

Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид , где и – действительные функции. С помощью подстановки , уравнение приводится к каноническому виду.

Пример. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

. (1.12)

Определяем коэффициенты при старших производных в уравнении (1.12): , , . Определяем дискриминант уравнения:

. (1.13)

Т.е. уравнение (1.12) относится к уравнениям эллиптического типа.

Для (1.12) составляем уравнение характеристик:

(1.14)

и находим его корни:

,

. (1.15)

В результате решение дифференциального уравнения (1.14) получили два комплексно сопряженных корня вида (1.15). Производим замену переменных:

(1.16)

На следующем этапе выражаем все производные уравнения (1.12) через новые переменные и для чего необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции нескольких переменных:

Здесь производные от функций и по переменным и вычисляются исходя из равенств (1.16).

На последнем этапе решения задачи подставляем полученные значения частных производных в исходное уравнение (1.12), учитывая соответствующие коэффициенты:

.

После преобразования последнего равенства получаем ответ:

(1.17)

Для упрощения вычислений при решении подобных задач целесообразно пользоваться формулами для выражения частных производных через новые переменные, полученные в общем виде:

При использовании этих уравнений частные производные функций и по переменным и вычисляются путем подстановки в данные выражения значений и , полученных при решении соответствующего уравнения характеристик. Частные производные функции по переменным и не вычисляются.