Примеры решения задач.

 

Пример 1. Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на} 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.

 

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

. (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U= , то

n=n₀e^-mgz/(kT) (2)

По условию задачи, изменение Dn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации Dn можно заменить дифференциа­лом dn.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

dп= -п₀ e^-mgz/(kT)

Так как п₀e^-mgz/(kT)=n, то dn=- .

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

Dz = .

Подставим в эту формулу значения величин Dn/n=0,01, k=1,38×10^-23 Дж/К, T=300 К, m= 10^{-21 кг,} g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

Dz=4,2 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок очень быстро изменяется с высотой.