Б. Изолированные особые точки
Определение. Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки – аналитическая функция (то есть аналитическая в кольце ).
Классификация изолированных особых точек функции связана с поведением этой функции в окрестности особой точки.
Определение.Точка называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел этой функции при .
Пример 5. Показать, что функция имеет в точке устранимую особенность.
Решение. Вспоминая первый замечательный предел, вычислим
.
Значит, в точке заданная функция имеет устранимую особенность. ☻
Задача 4. Показать, что точка устранимая для .
Определение.Точка называется полюсом функции , если эта функция неограниченно возрастает при , то есть .
Обратим внимание на связь между понятиями нуля и полюса аналитической функции. Представим функцию в виде .
Если точка является простым нулем функции , то функция имеет в простой полюс
Если точка – нуль порядка для функции , то для функции это полюс порядка .
Пример 6. Показать, что функция имеет в точке полюс третьего порядка.
Решение. Полагая , получим . При стремлении к нулю по любому закону имеем . Тогда , а с ним и сама функция неограниченно возрастает. Следовательно, , то есть особая точка является полюсом. Для функции эта точка, очевидно, является трехкратным нулем. Значит, для данной функции точка является полюсом третьего порядка. ☻
Задача 5. Показать, что в точке имеет простой полюс.
Определение.Точка называется существенно особой точкой функции , если в этой точке не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции (поведение функции не определено).
Пусть является существенно особой точкой функции . Тогда для любого наперед заданного комплексного числа найдется такая последовательность точек , сходящаяся к , вдоль которой значения стремятся к : (теорема Сохоцкого).
Пример 7. Показать, что функция в точке имеет существенную особенность.
Решение. Рассмотрим поведение заданной функции в окрестности точки . При вдоль положительной части действительной оси (т.е. ) имеем и ; если же вдоль отрицательной части действительной оси (т.е. ), то и . Значит, не существует предела при . По определению, в точке функция имеет существенную особенность.
Рассмотрим поведение функции в нуле с точки зрения теоремы Сохоцкого. Пусть – любое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности.
Из равенства находим . Полагая , получим последовательность точек , . Очевидно, . В каждой точке этой последовательности функция равна , поэтому и
. ☻
Задача 6. Показать, что функция имеет в точке существенную особенность.
Бесконечно удаленная точка всегда считается особой для функции . Точка называется изолированной особой точкой функции , если эта функция вне некоторого круга с центром в начале координат не имеет других особых точек.
Классификацию изолированных особых точек можно распространить и на случай .
Пример 8. Показать, что функция имеет на бесконечности двукратный полюс.
Решение. Рассмотрим функцию , где – аналитическая функция в окрестности точки , причем . Значит, функция имеет на бесконечности двукратный нуль, но тогда для функции точка является двукратным полюсом. ☻
Пример 9. Показать, что функция имеет на бесконечности существенную особенность.
Решение. Аналогичная задача рассмотрена в пр.7. Рассмотрим поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. При вдоль положительной части действительной оси , а при вдоль отрицательной части действительной оси . Значит, не существует предела функции в точке и в силу определения эта точка – существенно особая. ☻
О характере особенности функции в точке можно судить по главной части лорановского разложения в окрестности этой точки.
Теорема 1.Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее лорановское разложение не содержало главной части.
Задача 6. Пользуясь тейлоровским разложением функции в окрестности точки , показать, что имеет в нуле устранимую особенность.
Теорема 2.Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть соответствующего лорановского разложения содержала конечное число членов:
.
Номер старшего отрицательного члена определяет порядок полюса.
В этом случае функцию можно представить в виде
, (8)
где - аналитическая в точке функция, , – порядок полюса.
Пример 10. Показать, что функция имеет в точках и простые полюсы.
Решение. Рассмотрим точку . Воспользуемся лорановским разложением данной функции в окрестности этой точки, полученным в примере 2:
Так как в главной части этого разложения старшая (и единственная) отрицательная степень равна единице, то точка – простой полюс данной функции.
Можно было получить этот результат другим путем. Представим в виде и положим – это функция, аналитическая в точке и . Значит, и в силу (8) в точке данная функция имеет простой полюс.
Еще один способ: рассмотрим функцию , которая в точке имеет простой нуль. Значит, в этой точке имеет простой полюс.
Аналогично, если записать функцию в виде , где – функция, аналитическая в точке и , то сразу ясно, что точка – простой полюс функции . ☻
Задача 7. Показать, что функция имеет полюс 2 –го порядка в точке и полюс 4 –го порядка в точке .
Теорема 3.Для того чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения в окрестности точки содержала бесконечное число членов.
Пример 11. Определить характер особенности в точке функции
Решение. В известном разложении косинуса положим вместо :
Значит, лорановское разложение в окрестности точки имеет вид
Здесь правильная часть – одно слагаемое . А главная часть содержит бесконечное число слагаемых, поэтому точка – существенно особая. ☻
Задача 8. Показать, что в точке функция имеет существенную особенность.
Рассмотрим некоторую функцию и запишем ее лорановское разложение в точке :
.
Произведем замену , при этом точка переходит в точку . Теперь в окрестности бесконечно удаленной точки имеем
.
Осталось ввести новое обозначение . Получаем
,
где – главная часть, а – правильная часть лорановского разложения функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Таким образом, в лорановском разложении функции в окрестности точки главная часть – это ряд по положительным степеням , а правильная часть – ряд по отрицательным степеням. С учетом этого заме
чания приведенные критерии для определения характера особенности остаются в силе и для бесконечно удаленной точки.
Пример 12. Выяснить характер особенности функции в точке .
Решение. Положим , тогда . Рассмотрим функцию , аналитическую в точке . Запишем несколько первых членов тейлоровского разложения функции в окрестности нуля. Вычислим
,
,
.
Значит, .
Осталось произвести обратную замену :
Получили разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Так как существует конечный предел , то в точке функция имеет устранимую особенность. ☻
Пример 13. Показать, что имеет в нуле двукратный полюс, а на бесконечности – простой полюс.
Решение. Запишем функцию в виде суммы: . В окрестности нуля первое слагаемое – это правильная часть лорановского разложения, второе слагаемое – главная часть лорановского разложения этой функции. Так как старшая отрицательная степень равна 2, то в нуле полюс двукратный. В окрестности бесконечно удаленной точки правильная и главная части меняются местами, теперь – это главная часть лорановского разложения. Так как старшая положительная степень равна единице, то в бесконечно удаленной точке функция имеет простой полюс. ☻
Задача 9. Выяснить характер особенности функции в бесконечно удаленной точке. Ответ: существенная особенность.
Задача 10. Выяснить характер особенности в точке . Ответ: полюс 2 –го порядка.
Задача 11. С помощью лорановского разложения в окрестности бесконечно удаленной точки выяснить характер особенности функции в этой точке. Ответ: существенная особенность.
Замечание 1. Здесь рассматривались только изолированные особые точки.
Замечание 2. В случае, когда функция имеет в существенную особенность, для функции особая точка может оказаться неизолированной.
Пример 14.Функция в точке имеет существенную особенность. Показать, что для функции не является изолированной особой точкой.
Решение. Функция имеет полюсы в точках , которые найдем как нули знаменателя из уравнения . Очевидно, , то есть полюсы накапливаются к началу координат. Значит, в любой сколь угодно малой окрестности точки имеются полюсы, отличные от . Особая точка не является изолированной – это предельная точка полюсов данной функции. ☻
Пример 15.Функция в бесконечно удаленной точке имеет существенную особенность. Показать, что точка для функции не является изолированной особой точкой.
Решение. Функция имеет бесчисленное множество полюсов в нулях знаменателя, то есть в точках , . Так как , то точка , в любой окрестности которой имеются полюсы , является предельной для полюсов.