А. Ряд Лорана

. (1)

Коэффициенты вычисляются по формулам

, (2)

где интегрирование производится по окружности .

В замкнутом кольце ряд Лорана сходится равномерно.

В частном случае при область сходимости ряда Лорана есть круг с выколотым центром , при – это внешность круга .

Разложение (1) можно разбить на две части:

.

Ряд по положительным степеням называется правильной частью ряда Лорана.

Ряд по отрицательным степеням называется главной частью ряда Лорана

На внешней граничной окружности радиуса имеется, по крайней мере, одна особая точка функции , являющаяся суммой правильной части ряда Лорана, а на внутренней граничной окружности радиуса имеется, по крайней мере, одна особая точка функции , являющаяся суммой главной части ряда Лорана. Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана.

Общие формулы (2) для определения лорановских коэффициентов обычно мало пригодны для вычислений. В некоторых случаях могут быть использованы готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана при .

Решение. Функция имеет две особые точки , которые получаем из условия . Значит, имеются три области с круговыми границами с центром в точке , в каждой из которых – аналитическая функция: 1) круг ; 2) кольцо ; 3) область .

В этом примере легко получить лорановское разложение в каждой из областей, не прибегая к формулам (2) для вычисления коэффициентов. Представим заданную функцию в виде суммы элементарных дробей:

.

Рассмотрим последовательно все случаи.

1.Разложение в круге .

Функция есть сумма бесконечной геометрической прогрессии:

. (3)

Здесь знаменатель прогрессии , ряд сходится при .

Функция лишь постоянным множителем отличается от суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем :

. (4)

Ряд, стоящий справа в (4), сходится при , то есть в круге (в частности он сходится в рассматриваемом круге ).

Складывая (3) и (4), получаем:

Значит, в круге заданная функция представляется сходящимся рядом по положительным степеням :

, где , .

Естественно, для аналитической в круге функции получили ряд Тейлора (отрицательные степени отсутствуют).

2. Разложение в кольце . В этой области ряд (4), сходящийся при , остается сходящимся. Но ряд (3), сходящийся в круге , вне этого круга, то есть в рассматриваемом кольце, расходится. Поэтому функцию следует представить в виде и рассмотреть дробь как сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Разложение (3) заменяется другим:

. (5)

Ряд, стоящий справа в (5), сходится, когда , то есть при (в частности, в рассматриваемом кольце). Складывая (5) и (4), получаем:

.

Значит, в кольце заданная функция представляется сходящимся рядом Лорана:

, .

3. Разложение в области . Разложение (5), справедливое при , сохраняется, если . Но для ряда (4) радиус сходимости равен 2, значит, этот ряд расходится в области . Поэтому функцию следует представить в виде и рассмотреть дробь как сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Разложение (4) заменяется другим:

. (6)

Ряд, стоящий справа в (6), сходится, когда , то есть при . Складывая (5) и (6), получаем .

Значит, в области заданная функция представляется сходящимся рядом по отрицательным степеням :

, ☻

Пример 2. Функцию разложить в ряд Лорана при .

Решение. В примере 1 эта функция была представлена как сумма . Второе слагаемое уже представляет собой один из членов лорановского разложения по степеням : . Остается разложить по степеням слагаемое . Имеются две области, в каждой из которых это слагаемое – аналитическая функция:

1)круг с выколотым центром ;

2)внешность круга .

Рассмотрим оба случая.

1. Разложение в области . Выделим в знаменателе выражение : . Получили прогрессию со знаменателем :

(7)

Ряд справа сходится, если . Следовательно, в круге с выколотым центром заданная функция представляется рядом

.

Главная часть лорановского разложения содержит лишь одно слагаемое.

2.Разложение в области . Здесь ряд (7) расходится, поэтому представим слагаемое в другом виде: .

Теперь можем рассматривать прогрессию со знаменателем :

. (8)

Ряд справа сходится, так как , то есть .

Следовательно, заданная функция в области представляется разложением только по отрицательным степеням :

. ☻

Задача 1. Разложить в ряд Лорана функцию при в кольце . Ответ: .

Пример 3. Функцию в области разложить в ряд Лорана по степеням .

Решение. Обозначим и воспользуемся разложением (8):

Почленно дифференцируем равномерно сходящийся в области ряд:

Значит, . ☻

Пример 4. Функцию разложить в ряд Лорана, .

Решение. Заменяя в известном разложении для синуса на , получим

Значит,

Правильная часть полученного разложения содержит лишь два слагаемых: . В главной части – бесконечное число слагаемых. ☻

Задача 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности точки .

Указание. Воспользоваться формулой и известным разложением для косинуса. Ответ: .

Задача 3. В окрестности точки (т.е. по степеням ) разложить в ряд Лорана функцию . Ответ: .