Исключение

Можно выделить два вида исключения:

1. Исключающие объемы дополняют друг друга так, что в сумме дают весь объем рода, видами которого они являются. Имена, объемы которых исключают друг друга, исчерпывая объем родового понятия, называются противоречащими.

Противоречащими являются, например, имена "умелый" и "неумелый", "стойкий" и "нестойкий", "красивый" и "некрасивый" и т.п. Противоречат друг другу также имена "простое число" и "число, не являющееся простым", исчерпывающие объем родового имени "натуральное число", имена "красный" и "не являющийся красным", исчерпывающие объем родового имени "предмет, имеющий цвет", и т.п.

2. Исключающие имена составляют в сумме только часть объема того рода, видами которого они являются. Имена, объемы которых исключают друг друга, не исчерпывая объем родового имени, называются противоположными.

Противоречащие имена Противоположные имена

К противоположным относятся, в частности, имена "простое число" и "четное число", не исчерпывающие объема родового имени "натуральное число", имена "красный" и "белый", не исчерпывающие объема родового имени "предмет, имеющий цвет" и т.п.

Круговые схемы могут применяться для одновременного представления объемных отношений более, чем двух имен. Такова, к примеру, приводимая на рисунке схема, представляющая отношения между объемами имен: "планета" (S), "планета Солнечной системы"(P), "Земля" (M), "спутник" (L), "искусственный спутник" (N), "Луна"(O) и "небесное тело" (R). Согласно этой схеме существуют, в частности, небесные тела, не являющиеся ни планетами, ни их спутниками, планеты, не входящие в Солнечную систему, спутники, не являющиеся искусственными, и т.д. Объемы единичных имен представляются точками.

 

12. Логика имён. Логические операции с именами.

Основными логическими операциями с понятиями являются: обобщение и ограничение понятий, их определение и деле­ние. В основе данных операций лежат родовидовые отношения между понятиями.

Логические операции обобщения и ограничения основаны на законе об­ратного отношения между объемом и содержанием понятия. Данные опера­ции имеют противоположную направленность.

Ограничением называется логическая операция перехода от родовых по­нятий к видовым путем прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака. Например, если к содержанию понятия «юрист» до­бавить видообразующий признак, показывающий его специализацию, то получим новое понятие «юрист-криминолог», которое является видовым понятием по отношению к исходному, родовому понятию.

Логическая операция ограничения понятия широко применяется в правовой деятельности, в частности при квалификации конкретного преступления. В этом случае осуществляется последовательный переход от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом. Например, «деяние» —-> «адми­нистративное нарушение» ——> «уголовное преступление» —-> «разбой».

При ограничении понятий важно соблюдать правило последовательного перехода от рода к виду. Пределом ограничения является единичное поня­тие, например, «юрист-криминолог Артемьев Петр Аркадьевич, 1964 года рождения, проживающий в городе Москве на улице Тверской в доме № 151», потому что объем такого понятия уменьшить уже невозможно: в нем мыслится только один конкретный человек.

 

 

13.Логика имён. Ограничение и обобщение.

Закон обратного отношения между объемом и содержанием имени–чем шире объем имени, тем уже его содержание, и наоборот;

Обобщение –логическая операция, заключающаяся в переходе от видового понятия к родовому путем отбрасывания от содержания видового понятия его видообразующего признака;

Ограничение–логическая операция, заключающаяся в переходе от родового понятия к видовому путем добавления к содержанию данного родового понятия видообразующих признаков.

Обобщение и ограничение понятий являются операциями, которые осуществляются на основе закона обратного отношения.

Обобщение понятия — это переход от некоторого понятия к понятию с большим объемом, но меньшим содержанием.

Например, результатом обобщения понятия “млекопитающее животное, обитающее на суше” (А), является понятие “млекопитающее животное” (В), а результатом обобщения последнего — понятие “животное” (С).

Есть предел обобщения каждого понятия в рамках той или иной науки и безотносительно к той или иной науке. Пределом обобщения является универсальное понятие в рамках науки или безотносительно к той или иной науке.

Возможны, конечно, более сложные способы обобщения понятий, но для всех способов справедливо данное выше определение.

Ограничение понятия — это переход от некоторого понятия к понятию с меньшим объемом, но большим содержанием. Таким образом, ограничение — это операция, обратная операции обобщения. Пределом ограничения является единичное понятие.

Знание формально--их способов обобщения и огранич-я полезно для выяснения отношений между понятиями.

14. Логика имён. Деление и определение.

Логическая операция, раскрывающая содержание имени, называется определением или дефиницией. В структуре определения выделяют определяемое имя (дефиниендум – Dfd), содержание, которого раскрывают, и определяющее (дефиниенс – Dfn), т. е. то имя, с помощью которого это делают. Определение является ответом на вопрос: «Что это такое?», а его структура может быть выражена следующим образом – Dfd≡Dfn, «≡»– знак дефинитивной связки, выражаемой словами «называется», «представляет собой» и означающей равнозначность, тождественность.

Различают явные и неявные определения. В свою очередь явные определения делятся на номинальные и реальные, на генетические и определения через род и видовое отличие. К явным относятся определения, указывающие на существенные признаки определяемого имени и имеющие строгую логическую структуру. Неявные определения раскрывают смысл определяемого имени в некотором контексте. К ним относятся писание, сравнение, характеристика.

Номинальным называется определение, в ходе которого вводится новое имя (от лат. nomen), термин как новое знаковое выражение, объясняется его значение или происхождение. Например: «Логос – основное понятие древнегреческой философии, означающее одновременно «слово», «смысл», «закон». Реальное определение раскрывает существенные признаки предмета («Техника – системно-организованная совокупность созданных человеком артефактов инструментального значения»).

Определение через род и видовое отличие является важной разновидностью явного определения. Оно включает в себя два последовательных этапа:

1) подведение определ-го имени под более широкое по объему родовое

2) указание видового признака, отличающего определяемый предмет от других, относящихся к этому же роду. Например: «Определение имени – логическая операция (родовое имя), раскрывающая содержание имени (видовой признак)».

Генетическим называется определение, указывающие на способ образ-я или происхождение (генезис) предмета. Напр-р: «Шар – геометр-ое тело, образ-ое вращением круга вокруг одного из диаметров».

Определение должно быть истинным по содержанию и правильным по форме, что регламентировано следующими правилами:

1. Определение должно быть соразмерным, то есть объем определяемого имени должен быть равен объему определяющего имени (Dfd=dfn). Нарушение этого правила приводит к следующим ошибкам: слишком широкое определение: «Логика – это наука» (Dfd < dfn); слишком узкое определение: «Логика – наука, изучающая способы доказательства» (Dfd > dfn).

2. Определение не должно заключать в себе круга. Круг в определении возникает, если определяющее имя содержит выражения, производные или повторяющее определяемое имя («Нумизмат – тот, кто увлекается нумизматикой»). Данная разновидность является тавтологией.

3. Определение должно быть ясным. Оно должно указывать известные признаки, не нуждающиеся в определении и не содержащие двусмысленности. Если же определяющее имя само нуждается в определении, то это приводит к ошибке, называемой определение неизвестного через неизвестное.

4. Определение должно быть минимальным. Определяющее выражение должно содержать только существенные признаки. В противном случае определение является избыточным.

5. Определение не должно быть отрицательным. Давая определение, необходимо указывать присущие предмету признаки, а не отсутствующие у него. Исключение составляют отрицательные имена.

Как в процессе обыденного познания, так и в научном познании зачастую встает задача раскрыть объем того или иного имени. Эту задачу решает логическое деление. Следовательно, деление – логическая операция, раскрывающая объем имени. Его сущность состоит в том, чтобы распределить мыслимые в объеме имени предметы по отдельным группам. В структуре деления рассматривают делимое имя (объем которого мы раскрываем), члены деления (видовые имена, составляющие объем делимого имени), основание деления (признак, по которому производится деление).

Следует отличать деление от мысленного расчленения целого на части. Члены деления всегда обладают признаком делимого имени («Транспорт делится на наземный, подземный, воздушный, надводный и подводный»), тогда как части не обладают признаком целого («Год состоит из 12 месяцев»).

Основными видами деления являются деление по видоизменению признака (основанием деления является признак, изменение которого дает новые виды: «Студенты делятся на заочников, очников и вечерников») и дихотомическое деление (деление на два противоречащих имени: «Студенты делятся на отличников и не отличников»).

Особая роль в научном познании отводится классификации, которая является многоступенчатым делением, в ходе которого на основе устойчивых и существенных признаков все многообразие предметов и явлений распределяется по классам, образуя целостные системы.

15. Логика высказываний Способы образования сложных высказываний.

Сложные суждения образуются из простых двумя основными способами:

1) путем квантификации высказываний;

2) объединением простых или элементарных высказываний с помощью логических связок или операторов.

Первый способ представляет собой метод получения общих суждений путем использования логических кванторов, характеризующих объем суждения. Прежде чем перейти к его обсуждению, рассмотрим понятие функции-высказывания, которое играет важную роль в логике.

Высказывания в функции-высказывании оцениваются с точки зрения их истинностного значения, поэтому такая функция называется также истинностной функцией. Она образуется по аналогии с математической функцией, но в отличие от последней, аргументами в ней являются не числа и другие математические объекты, а логические объекты – высказывания. В связи с этим ее называют также пропозициональной функцией или – что менее благозвучно – высказывательной функцией. Значениями ее аргументов и самой функции являются "истина" и "ложь". Таким образом, здесь мы имеем дело с пропозициональной функцией двузначной классической логики.

Чтобы определить понятие пропозициональной функции, рассмотрим следующие примеры:

х – простое число;

у – металл;

z – студент.

По форме эти выражения напоминают высказывания, но они не определяют никакого конкретного высказывания, ибо содержат переменные, значение которых остается неизвестным. Здесь напрашивается аналогия с алгебраическими функциями или формулами, которые могут выражать конкретные арифметические зависимости. Так, например, линейная функция у = ax + в получает вполне определенное значение, если вместо постоянных и переменных подставляются конкретные числа.

Точно так же пропозициональные функции логики превращаются в конкретные высказывания, если вместо логических переменных подставляются определенные имена. Так, в первом примере, если вместо х подставить число 3, то получится истинное высказывание "3 – простое число". Если же вместо х подставляется число 4, то получится ложное высказывание "4 – простое число". Соответственно этому во втором примере, если вместо у подставить "железо", то получится истинное высказывание "железо-металл". Если вместо у подставляется "фосфор", то получится ложное высказывание "фосфор – металл".

Наконец, в третьем примере, если вместо переменной подставить фамилию студента Иванова, то получится истинное высказывание "Иванов – студент". Итак, одни значения переменных удовлетворяют пропозициональным функциям, другие нет, т.е. в первом случае они превращают их в истинные, во втором – в ложные, но в обоих случаях делают их определенными, конкретными высказываниями.

Отсюда легко дать определение пропозициональной функции, под которой мы будем понимать любое выражение, содержащее переменные, которые при подстановке вместо них постоянных превращают выражение в конкретное высказывание.

Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.

Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось, ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.

Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный целостный, единый смысл.

Таким образом, при логическом объединении высказываний абстрагируются от конкретного содержания и смысла высказываний. Поэтому с точки зрения обыденного сознания некоторые логические операции кажутся явно парадоксальными. Именно поэтому начинающие изучать логику здесь сталкиваются с наибольшими трудностями. Чтобы их преодолеть, необходимо с самого начала понять, что логический подход является более общим, и потому он не может учитывать все конкретные особенности употребления союзов в грамматике.

16. Логика высказываний. Отношения сложных высказываний по истинности. Таблица истинности.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.

Анализ структуры сложных высказываний предшествует анализу структуры простых. Объясняется это следующим: для того, чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе не обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определенное значение истинности. Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Разумно поэтому поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, т.е. оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться логическими связями высказываний. Последняя задача является относительно легкой.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.

Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении.

2. Определить число строк в таблице, которое равно m = 2ⁿ.

3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице: количество переменных + количество операций = количество столбцов.

4. Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.

5. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений.

6. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями (ложь), а нижнюю единицами (истина);
б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;

в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Пример: для формулы построить таблицу истинности.

Решение

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 2³=8.

Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3+5=8.