Методы решения уравнений узловых напряжений

 

Методы решения линейных уравнений делятся на две группы:

точные или прямые методы, которые позволяют получить точные значения искомых переменных в результате конечного числа вычислительных операций;

итерационные методы, или методы последовательных приближений, которые позволяют получить значения искомых переменных с заданной точностью в результате повторяющейся вычислительной процедуры.

Метод последовательного исключения переменных (методГаусса) является одним из наиболее распространенных точных методов решения линейных систем алгебраических уравнений. Идею метода рассмотрим на примере следующей cистемы линейных уравнений:

Y₁₁U₁+Y₁₂U₂+Y₁₃U₃=J₁;

Y₂₁U₁+Y₂₂U₂+Y₂₃U₃=J₂; (6.14)

Y₃₁U₁+Y₃₂U₂+Y₃₃U₃=J₃.

Поделив первое уравнение на коэффициент Y₁₁, получим

U₁+Y₁₂'U₂+Y₁₃'U₃=J₁', (6.15)

где Y₁₂'=Y₁₂/Y₁₁, Y₁₃'=Y₁₃/Y₁₁, J₁'=J₁/Y₁₁.

Здесь и далее штрихами (одним, двумя и т. д.) будут обозначаться пересчитанные проводимости и токи исходной системы (6.14).

Пользуясь уравнением (6.15), можно исключить неизвестное напряжение U₁ из второго и третьего уравнений системы (6.14). Для этого умножим уравнение (6.15) сначала на Y₂₁, а затем на Y₃₁ и вычтем полученные результаты соответственно из второго и третьего уравнений системы (6.13). В результате получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Y₂₂"U₂+Y₂₃"U₃=J₂";

Y₃₂"U₂+Y₃₃"U₃=J₃". (6.16)

Поделив первое уравнение системы (6.16) на коэффициент Y₂₂", получим

U₂+Y₂₃'''U₃=J₂'''. (6.17)

Пользуясь уравнением (6.17), можно исключить неизвестное напряжение U₂ из второго уравнения системы (6.16). Для этого умножим уравнение (6.17) на Y₃₂" и вычтем полученный результат из второго уравнения системы (6.16). В результате получим

Y₃₃""U₃=J₃"". (6.18)

Таким образом, исходная система (6.14) свелась к эквивалентной системе, состоящей из уравнений (6.15), (6.17) и (6.18)

U₁+Y₁₂'U₂+ Y₁₃'U₃ =J₁';

U₂+Y₂₃'''U₃=J₂'''; (6.19)

Y₃₃""U₃=J₃"".

Ход дальнейшего решения очевиден. Из третьего уравнения системы (6.19) вычисляется напряжение U₃=J₃""/Y₃"" и подставляется во второе и первое уравнения, из второго уравнения вычисляется напряжение U₂ и подставляется в первое уравнение, наконец, из первого уравнения вычисляется напряжение U₁.

При большем чем четыре количестве узлов в электрической сети объем вычислений возрастает, но вычислительный алгоритм сохраняется.

Метод простой итерации является одним из наиболее простых итерационных методов решения линейных систем алгебраических уравнений. Идею метода рассмотрим так же, как и метод Гаусса, на примере cистемы линейных уравнений (6.14).

Разрешим первое уравнение системы (6.14) относительно напряжения U₁, второе – относительно U₂, третье – относительно U₃. В результате получим

U₁= –Y₁₂U₂/Y₁₁–Y₁₃U₃/Y₁₁+J₁/Y₁₁=Y₁₂'U₂+Y₁₃'U₃+ J₁';

U₂= –Y₂₁U₁/Y₂₂–Y₂₃U₃/Y₂₂+J₂/Y₂₂=Y₂₁'U₁+Y₂₃'U₃+J₂';(6.20)

U₃= –Y₃₁U₁/Y₃₃–Y₃₂U₂/Y₃₃+J₁/Y₃₃=Y₃₁'U₁+Y₃₂'U₂+J₃'.

Дадим начальные приближения искомым напряжениям U₁=U_1,0, U₂=U_2,0, U₃=U_3,0. Подставив эти начальные приближения в правые части системы (6.20), вычислим первые приближения искомых напряжений U_1,1, U_2,1, U_3,1. Проделанное вычисление соответствует первому шагу итерационного процесса. Далее вычислительная процедура повторяется: первые приближения напряжений U_1,1, U_2,1, U_3,1 подставляются в правые части системы (6.20) и вычисляются вторые приближения напряжений U_1,2, U_2,2, U_3,2. Таким образом, используя значения напряжений, полученных на предыдущем i-м шаге U_1,i, U_2,i, U_3,i, вычисляются новые приближения напряжений U_1,i+1, U_2,i+1, U_3,i+1 на (i+1)-м шаге:

U_1,i+1=Y₁₂'U_2,i +Y₁₃'U_3,i +J₁';

U_2,i+1=Y₂₁'U_1,i +Y₂₃'U_3,i +J₂';(6.21)

U_3,i+1=Y₃₁'U_1,i +Y₃₂'U_2,I +J₃'.

Вычислительный процесс заканчивается при достижении требуемой точности.

Метод Зейделяявляется модификацией метода простой итерации. Как и в методе простой итерации, дадим начальные приближения искомым напряжениям U₁=U_1,0, U₂=U_2,0, U₃=U_3,0. Идея метода заключается в том, что найденное по первому уравнению системы (6.20) первое приближение напряжения U_1,1 используется во втором уравнении при вычислении первого приближения напряжения U_2,1. Далее первые приближения напряжений U_1,1 и U_2,1 используются в третьем уравнении при вычислении первого приближения U_3,1.

Вычислительную процедуру метода Зейделя на произвольном (i+1)-м шаге можно записать системой уравнений

 

U_1,i+1=Y₁₂'U_2i +Y₁₃'U_3i +J₁';

U_2,i+1=Y₂₁'U_1,i+1+Y₂₃'U_3i +J₂'; (6.22)

U_3,i+1=Y₃₁'U_1,i+1+Y₃₂'U_2,i+1+J₃'.

Вычислительный процесс заканчивается при достижении требуемой точности. Метод Зейделя, как правило, надежнее и быстрее сходится до требуемой точности, чем метод простой итерации. Простота алгоритма метода Зейделя обусловила его преимущественное использование при практических расчетах установившихся режимов.

 

Контрольные вопросы к разделу 6

 

1. Поясните понятие сложнозамкнутая электрическая сеть.

2. Какой метод используется для расчета установившихся режимов электрических сетей любой сложности?

3. Что такое балансирующий по току узел?

4. Что такое базисный узел по напряжению?

5. Как определяется взаимная проводимость ветви?

6. Как определяется собственная проводимость узла?

7. Запишите систему уравнений узловых напряжений для трехузловой сети.

8. При каком представлении активных элементов система уравнений узловых напряжений является линейной?

9. При каком представлении активных элементов система уравнений узловых напряжений является нелинейной?

10. Назовите основные методы решения систем уравнений узловых напряжений.

11. Поясните суть метода исключения Гаусса.

12. Поясните суть метода простой итерации.

13. Поясните суть метода Зейделя.