Интерполяционная формула Лагранжа

Одну из простейших формул интерполяции позволяет построить метод Лагранжа. По условию мы должны найти полином степени (N-1), который в N точках совпадает с N значениями функции f(x). Очевидно, что если мы сможем найти систему полиномов {φ_i(x)}, каждый из которых в точке х_j, равен 1, а в остальных точках равен нулю, то интерполяционный полином можно представить виде:

. (4.8)

Это следует из того, что:

. (4.9)

Последовательность функций {φ_i(x)} такого типа называется фундаментальной системой полиномов.

По предположению полином φ_i(x) в точках х_k, при k j обращается в нуль. Поэтому его можно представить в виде:

(4.10)

где С_i — некоторая постоянная. Учитывая, что φ_j(x_j)=1 , получим:

, j=1,...,N. (4.11)

Отсюда следует, что интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

. (4.12)

Выражение (4.12) можно представить в более компактной форме. Для этого введем вспомогательную функцию:

, (4.13)

производная которой равна:

. (4.14)

Легко заметить, что знаменатель функции (4.11) равен . Тогда умножив и разделив каждое из слагаемых выражения (4.12) на (x-x_j), а также заменив выражение в числителе функцией П(х), получим общеизвестную форму полинома Лагранжа:

; (4.15)

. (4.16)

Если узлы интерполяции являются равноотстоящими, т.е.

, то интерполяционный полином Лагранжа имеет вид

. (4.17)

где зависимая переменная t введена с помощью замены

x = x₁ + (t-1)h.

Значения интерполяционного полинома Лагранжа равны значениям функции f(x) только в N точках; в остальных точках отрезка [а, b] разность:

. (4.18)

Значения интерполяционного полинома Лагранжа равны значениям функции f(x), возникает вопрос, как сильно может отличаться от f(x) вточках, отличных от узловых. Функция R(x), характеризующая точность аппроксимации, называется остаточным членом интерполяции. Остаточный член интерполяции можно оценить теоретически, если функция f(x) N раз непрерывно дифференцируема. В этом случае остаточный член можно представить в виде:

, (4.19)

где ξ — некоторая точка отрезка [а,b], зависящая от х.

На практике для оценки точности аппроксимации часто используют такие характеристики, как абсолютная погрешность метода в точке и абсолютная погрешность метода на отрезке [а,b]. Абсолютной погрешностью метода в точке называется по возможности малая положительная функция δ(х) > 0 такая, что:

|R(x)| ≤δ(х). (4.20)

Наименьшее число δ*, для которого δ(х)≤δ* для любого х, называется абсолютной погрешностью метода на отрезке [а, b].

Если каким-то образом мы сможем найти число , то абсолютные погрешности формулы Лагранжа в точке х и на отрезке [a,b], соответственно, равны:

; (4.20)

. (4.21)

В качестве примера рассмотрим построение интерполяционного полинома Лагранжа, аппроксимирующего зависимость тяги несущего винта вертолета от высоты Н висения у земли. Необходимость aппроксимации функции Т =f(Н) возникает при разработке алгоритмов автоматизированной обработки тяговых характеристик несущего винта. Экспериментальные значения этой функции, полученные в ходе испытаний вертолета Ми-6, представлены на рис. 1.1

Легко заметить, что зависимость тяги от высоты по форме напоминает параболу. Для аппроксимации функции Т=f(Н) с помощью интерполяционного полинома Лагранжа второй степени необходимо иметь значения этой функции в трех точках. Значения тяги и высоты, с помощью которых можно построить интерполяционный полином, заданы в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

j
Нj,м
Tj,m	37,5	34.2

 

Согласно формуле (1.1.7) интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

.

В точках Н_j значения этого полинома равны экспериментальным данным. В остальных точках погрешность аппроксимации не превышает 150 кг.

На первый взгляд может показаться, что точность аппроксимации можно повысить за счет увеличения числа узловых точек N. Однако исследования показали, что при N→∞ последовательность полиномов {P_N-1(x)} не всегда сходится к f(x). Отсутствие сходимости на практике проявляется в том, что при увеличении N отклонение полинома P_N-1(x) от f(x) не уменьшается. В случае, когда функцию f(x) можно разложить в степенной ряд, сходящийся при произвольном конечном x, P_N-1(x)→f(x) , причем сходимость {P_N-1(x)} к f(x) является равномерной. Такие функции называются целыми [20].

Рунге построил пример бесконечно дифференцируемой функции у = f(x) =1/(1+25х²), для которой интерполяционный процесс не сходится на отрезке [-1, 1]. Более того, при увеличении N значения полинома P_n-1(x) могут становиться сколь угодно большими по абсолютной величине. Математически это свойство выражается следующим образом [20]:

. (4.22)

Например, для N=6 полином Р₅(х) имеет отклонение от f(х), равное 0,44. При N=21 максимальное отклонение полинома Р₂₀(х) от f(x) по модулю становится большим 58.

Практика показала, что аппроксимация с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число N является малым. В частности в математическом обеспечении большинства ЭВМ имеются стандартные подпрограммы аппроксимации, в которых реализована формула Лагранжа при малых N (например, в некоторых подпрограммах сглаживания используется формула Лагранжа при N=4).

При применении формулы Лагранжа для обработки экспериментальных данных необходимо учитывать ошибки эксперимента. Если δ_j - погрешность, с которой найдено значение функции в точке х_j,, то абсолютная погрешность в произвольной точке х [а,b] равна:

. (4.23)

Формула Лагранжа при N≥4 становится громоздкой при практическом использовании, т.к. в нее входит произведение П(х). Рассмотрим некоторые случаи выбора узлов интерполяции, когда формула Лагранжа значительно упрощается.

Предположим, что функция у=f(x) задана на отрезке
[-1,1]. Дальше полученные результаты мы обобщим на случай произвольного отрезка [а,b]. Сначала введем полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода. По определению полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода задаются с помощью формул [20]:

; (4.24)

; (4.25)

где n — порядок полинома.

Возьмем в качестве узлов интерполяции нули полинома Чебышева 1-го рода T_n(x). Из уравнения T_n(x)=0 получим:

. (4.26)

Так как узлами интерполяции являются нули полинома Т_N(х), то П(х) = T_N(x) = cos [N(arccos x)], a:

(4.27)

При x = х_j имеем:

. (4.28)

Отсюда следует, что если узлами интерполяции являются нули полинома T_n(x), тo интерполяционный полином Лагранжа можно представить в виде:

. (4.29)

Предположим, что узлами интерполяции являются нули полинома Чебышева 2-го рода U_n(x) . Решая уравнение U_N(x)=0, получим нули полинома

. (4.30)

Аналогично предыдущему случаю, имеем:

(4.31)

Производная функции П(х) имеет вид:

(4.32)

а при х=х_j

. (4.33)

Отсюда следует, что если узлами интерполяции являются нули полинома Чебышева 2-го рода U_n(x), то интерполяционную формулу Лагранжа можно представить в виде:

(4.34)

Пусть теперь функция у =f(x) задана на произвольном отрезке [a,b]. Сделаем замену независимой переменной х=φ₁(u) таким образом, чтобы функция y = f(φ₁(и)) =f₁(и) была задана на отрезке [-1,1]. Предположим, что функция x=φ₁(u) имеет обратную и= φ₁^-1(x)и точкам x_j соответствуют точки u_j, являющиеся нулями одного из полиномов Чебышева. Тогда для аппроксимации функции y=f₁(u) можно использовать - формулы (1.1.23) или (1.1.28). Если у =Р_N-1,1(и) аппроксимирует функцию y=f₁(u) , то сделав замену переменных и = φ₁^-1(x), получим функцию
у=Р_N-1,1(и)=Р_N-1,1(и)(φ₁^-1(x))=P_N-1(x), аппроксимрующую функцию у =f(x). Легко заметить, что преобразование:

,

независимой переменной позволяет функцию, заданную на отрезке [а,b], свести к функции на отрезке [1,1], а преобразование:

(4.35)

дает возможность осуществить обратный переход.