Аппроксимация функций с помощью алгебраических интерполяционных полиномов

 

Данные, полученные при испытаниях сложных технических систем, для наглядности часто представляются графически, или в виде таблиц. Ввод сложных графиков, или таблиц большого объема в ЭВМ приводит к усложнению алгоритмов обработки. Поэтому на практике программист обычно предпочитает иметь дело не с графиком и таблицами, а с формулами. Если ошибки в экспериментальных данных можно не учитывать, то информацию, заданную графически или таблично, часто представляют с помощью интерполяционных формул. Достачно простые и легко реализуемые на ЭВМ формулы дают алгебраические интерполяционные многочлены (алгебраические интерполяционные полиномы). Хотя с их помощью можно аппроксимировать только простейшие зависимости, в ряде случаев они дают приемлемые практические результаты [4].

Задача аппроксимации функции с помощью алгебраического интерполяционного полинома формулируется следующим образом. Пусть аналитическое выражение функции у=f(х) неизвестно, а заданы только ее значения у₁,...,у_N в точках х₁ ,..„х_N некоторого отрезка [а,b]. Необходимо найти полином степени n:

(4.4)

для которого выполняются условия:

, j=1,...,N. (4.5)

Так как в точках х, значения функции у, и значения полинома должны совпадать между собой, то неизвестные коэффициенты полинома можно найти путем решения системы уравнений (4.5).

В общем случае, когда п+1<N, система (4.5) не имеет решений. Попытка разработать математический аппарат, позволяющий решить такие системы, привела к созданию метода наименьших квадратов. Если среди узлов х_j нет совпадающих между собой точек, то система линейных алгебраических уравнений (4.5) может иметь единственное решение только при
п+1=N, т.е. n =N-1, так как определителем этой системы является определитель Вандермонда, имеющий вид:

(4.6)

Известно, что при различных x_j этот определитель отличен от нуля [20], т.е. система уравнений имеет решение.

Отсюда следует, что по заданным N парам чисел (х_j, y_j) j=1,...,N мы можем найти полином степени (N- 1). Этот полином является единственным. В самом деле, если существует два полинома и , удовлетворяющих условиям интерполяции, то разность:

, (4.7)

представляющая собой алгебраический полином степени не выше (N-1)-й, в N точках обращается в нуль. Однако это невозможно, так как в силу основной теоремы высшей алгебры произвольный алгебраический полином n-й степени не может иметь более п корней [20].

Ниже мы рассмотрим некоторые наиболее распространенные методы построения интерполяционных полиномов.