Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики

 

Ордината z рассматриваемой точки жидкости отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости XOY, принятой в качестве координатной. В гидравлике эту плоскость называют плоскостью сравнения, а отсчитанную от нее координату z точки – геометрической высотой точки или геометрическим напором в данной точке жидкости.

Величина имеет линейную размерность и представляет собой геометрическую высоту, на которую поднимется жидкость под действием давления р. Указанную высоту можно измерить, если подсоединить к сосуду трубку, из которой полностью удален воздух. Жидкость в трубке поднимется на высоту . Если трубка открыта и давление на свободной поверхности равно атмосферному, то жидкость в трубке поднимется на высоту , соответствующую избыточному давлению (рис. 3.1).

Высота соответствует давлению р. Высота называется пьезометрической высотой. Высота, соответствующая давлению р_вак, называется вакуумметрической высотой. Эта высота может быть измерена с помощью простейшего вакуумметра (рис. 3.2).

Сумму высот называют гидростатическим напором Н. Пьезометрический напор Н_п меньше гидростатического напора на высоту, соответствующую атмосферному давлению, .

Отложив от плоскости сравнения по вертикали отрезки для различных точек покоящейся жидкости, обнаружим, что геометрическое место концов таких отрезков будет представлять собой горизонтальную плоскость, расположенную на расстоянии от плоскости сравнения. Такая плоскость называется плоскостью гидростатического напора, а если откладывать отрезки , – то плоскостью пьезометрического напора.

 

Рис. 3.1. Графическая иллюстрация напоров жидкости в сосуде при р₀ > р_атм

 

 

Рис. 3.2. Графическая иллюстрация напоров жидкости в сосуде при р₀ < р_атм

 

 

2.4. Закон Паскаля и его практическое приложение.
Графическое изображение давления

 

Применив основное уравнение гидростатики к двум точкам покоящейся жидкости , изменим давление в первой точке на Dр₁, не нарушая равновесия жидкости (рис 3.3). Тогда во второй точке давление должно измениться на некоторую величину Dр₂. Из основного уравнения гидростатики следует, что:

 

или , то есть изменение давления в любой точке покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений. Это положение называется законом Паскаля.

На этом законе основан принцип работы гидравлических машин. Рассмотрим одну из них.

Гидравлический пресс – это машина, которая используется для получения больших усилий при прессовании, штамповке, испытании материалов и т.п. Она состоит из двух сообщающихся цилиндров с поршнями малого d и большего D диаметров (рис. 3.4). Первый соединен с рычагом, дающим дополнительный выигрыш в силе. Если к рычагу приложена сила Р₀, то на малый поршень передается сила

 

.

Следовательно, в жидкости под поршнем давление увеличивается на величину

,

где w – площадь поперечного сечения малого поршня.

Изменение давления передается во все точки занятого жидкостью пространства, а значит, и под большой поршень. Пренебрегая практически незначительной поправкой на разность высотных положений нижней поверхности поршней, получаем силу давления на большой поршень:

,

где W – площадь поперечного сечения большого поршня.

Отношение W/w называют передаточным числом. Очевидно, для цилиндров W/w = (D/d)².

Учитывая потери энергии на трение в движущихся частях введем КПД h, получаем расчетную формулу:

.

Обычно h = 0,80 – 0,85. В современных гидравлических прессах развиваются усилия до 700 000 кН.

Графическое изображение давления.Графическое изображение изменения гидростатического давления вдоль плоской стенки в зависимости от глубины называется диаграммой распределения давления, или эпюрой давления.

Как следует из основного уравнения гидростатики, давление вдоль какой-либо вертикальной стенки изменяется по линейному закону:

.

Если манометрическое давление в точке на глубине h₁ (рис. 3.5) равно , а в точке на глубине h₂ равно , то:

.

Поскольку давление жидкости всегда направлено по внутренней нормали к площадке действия, отложив в соответствующих точках перпендикуляры, изображающие в масштабе манометрическое давление, и соединив их концы, можно получить эпюру манометрического давления на данную стенку.

В качестве двух исходных точек для построения линейной графической зависимости удобнее взять точку О на свободной поверхности, где манометрическое давление равно нулю, и точку А на дне, где манометрическое давление .

Эпюра полного гидростатического давления изобразится трапецией (рис. 3.5), так как в каждой точке вдоль стенки абсолютное давление больше манометрического на величину р₀. Эпюра давления строится со стороны жидкости и штрихуется по направлению действия давления. Каждый отрезок эпюры гидростатического давления в масштабе изображает направление давления в данной точке и его значение, например отрезок СВ изображает манометрическое давление в точке В, аотрезок DB – полное гидростатическое давление в той
же точке.

На рис. 3.6 представлена эпюра манометрического давления на стенку, наклоненную к горизонту под углом α. Ординаты эпюры давления всегда перпендикулярны площадке действия.

 

2.5. Абсолютное и манометрическое давление.
Вакуум. Приборы для измерения давления

 

Применив основное уравнение гидростатики для двух точек, одна из которых расположена на свободной поверхности, получим:

или

,

где р₀ – давление на свободной поверхности;

z₀ – z = h – глубина погружения точки А.

Отсюда следует, что давление в жидкости увеличивается с глубиной погружения, а формула абсолютного гидростатического давления в точке покоящейся жидкости имеет вид:

. (3.10)

Часто давление на свободной поверхности воды равно атмосферному давлению р₀ = р_ат, в этом случае абсолютное давление определяется как:

, (3.10^*)

а называют избыточным давлением и обозначают р_изб.

Избыточное давление определяется как разность абсолютного и атмосферного давлений:

,

при р₀ = р_ат:

.

Абсолютное гидростатическое давление может быть меньше атмосферного, но всегда больше нуля. Избыточное давление может быть и больше, и меньше нуля.

Положительное избыточное давление называют манометрическим давлением р_ман:

.

Манометрическое давление показывает, на сколько абсолютное давление превышает атмосферное (рис. 3.7).

Отрицательное избыточное давление называют вакуумметрическим давлением р_вак:

 

.

 

Вакуумметрическое давление показывает насколько абсолютное давление ниже атмосферного.

Практически наибольший вакуум в жидкости ограничен значением давления насыщенного пара жидкости при данной температуре.

Проиллюстрируем графически взаимосвязь между абсолютным, манометрическим и вакуумметрическим давлениями (см. рис. 3.7).

Представим плоскость, во всех точках которой абсолютное давление р_абс = 0 (линия 0-0 на рис. 3.7). Выше этой плоскости на расстоянии, соответствующем атмосферному давлению, расположена плоскость, во всех точках которой р_абс =р_ат (линия А-А). Таким образом, линия 0-0 является базой для отсчета абсолютного давления, а линия А-А – базой для отсчета манометрического давления и вакуума.

Если в точке С вжидкости абсолютное давление р_абс(С) больше атмосферного, то расстояние от точки С до линии А-А будет равно манометрическому давлению р_м(С) вточке С. Если в точке D вжидкости абсолютное давление p_абс(D) меньше атмосферного, то расстояние от точки D до линии А-А будет соответствовать вакуумметрическому давлению р_(вак)D в точке D.

Приборы для измерения гидростатического давления можно подразделить на две группы: жидкостные и механические. В основе жидкостных приборов для измерения давления лежит принцип сообщающихся сосудов.

Простейшим жидкостным прибором для измерения давления является пьезометр. Пьезометр представляет собой прозрачную трубку диаметром не менее 5 мм (для избежания капиллярности). Один ее конец присоединен к сосуду, в котором измеряется давление, а другой конец открыт. Схема установки пьезометра показана на рис. 3.8, а.

Абсолютное давление в сосуде в точке С присоединения пьезометра в соответствии с формулой (3.10^*) составляет:

, (3.11)

где h_п – высота подъема жидкости в пьезометре (пьезометрическая высота).

Из уравнения (3.11) находим, что:

.

 

Рис. 3.8. Схема установки пьезометров: а – для измерения давления в точке
присоединения; б – для измерения давления в сосуде над свободной поверхностью

 

Таким образом, высота подъема жидкости в пьезометре определяется избыточным (манометрическим) давлением в точке С. Измерив высоту подъема жидкости в пьезометре, можно определить избыточное давление в точке его присоединения.

С помощью пьезометра можно определить давление р₀ в сосуде над свободной поверхностью. Давление в точке С:

, (3.12)

где h_С – глубина погружения точки С относительно уровня жидкости в сосуде.

Из уравнений (3.11) и (3.12) находим:

.

В этом случае для удобства определения разности h_п – h_С схема установки пьезометра может быть такой, как на рис. 3.8, б.

Пьезометр является очень чувствительным и точным прибором, однако он удобен только для измерения небольших давлений;при больших давлениях трубка пьезометра получается, чрезмерно длинной, что осложняет измерения. В этих случаях применяют так называемые жидкостные манометры, в которых давление уравновешивается не той же жидкостью, что и жидкость, находящаяся в сосуде, как это имеет место в пьезометре, а жидкостью большего удельного веса; обычно такой жидкостью является ртуть. Так как удельный вес ртути больше удельного веса воды в 13,6 раза, то при измерении одних и тех же давлений трубка ртутного манометра оказывается значительно короче пьезометрической трубки и сам прибор получается более компактным.

Ртутный манометр (рис. 6.3) представляет собой обычно U-образную стеклянную трубку, изогнутое колено которой заполняется ртутью. Под действием давления р в сосуде уровень ртути в левом колене манометра понижается, а в правом – повышается. При этом гидростатическое давление в точке А, взятой на поверхности ртути в левом колене, по аналогии с предыдущим, определяется следующим образом:

 

,

где r_ж и r_рт – плотности соответственно жидкости в сосуде и ртути.

Отсюда:

.

В тех случаях, когда необходимо измерить не давление в сосуде, а разность давлений в двух сосудах или же в двух точках жидкости в одном и том же сосуде, применяют дифференциальные манометры. Дифференциальный манометр, присоединенный к двум сосудам А и В, представлен на рис. 3.10. Здесь для давления р на уровне поверхности ртути в левом колене имеем:

,

откуда:

,

или, так как ,

.

Таким образом, разность давлений определяется разностью уровней в двух коленах дифференциального манометра.

Для повышения точности измерений, а также при измерении незначительных давлений применяются микроманометры.

Микроманометр состоит из резервуара А, присоединяемого к сосуду, в котором измеряется давление, и манометрической трубки В,угол наклона α к горизонту которой можно менять. Одна из конструкций микроманометра, так называемый наклонный микроманометр, изображена на рис. 3.11.

 

Рис. 3.11. Микроманометр

 

Давление у основания трубки, измеряемое микроманометром, определяется выражением:

.

Микроманометр обладает большей чувствительностью, так как он позволяет вместо малой высоты h отсчитывать длину l тем большую, чем меньше угол a.

Для измерения давления меньше атмосфер­ного (в сосуде имеется вакуум) служат приборы, называемые вакуумметрами. Однако вакуумметры обычно измеряют не непосредственно давление, а вакуум, то есть недостаток давления до атмосферного. Принципиально они ничем не отличаются от ртутных манометров и представляют собой заполненную ртутью изогнутую трубку (рис. 3.12), один конец которой А соединяется с сосудом В, где измеряется давление р, а другой конец С открыт. Пусть, например, измеряется давление газа в сосуде В, в этом случае получаем:

.

Высоту

,

соответствующую вакууму в сосуде называют вакуумметрической высотой и обозначают h_вак.

Когда необходимо измерять большие давления, применяют приборы второго типа – механические. Наибольшим распространением пользуется на практике пружинный манометр (рис. 3.13, а). Он состоит из полой тонкостенной изогнутой латунной трубки (пружины) А, один конец которой запаян и соединен при помощи цепи В с зубчатым механизмом С; второй конец трубки – открытый – сообщается с сосудом, в котором замеряется давление. Через этот конец в трубку А поступает жидкость. Под действием давления пружина частично распрямляется и посредством зубчатого механизма приводит в движение стрелку, по отклонению которой судят о величине давления. Такие манометры обычно снабжаются градуированной шкалой, показывающей давление в атмосферах, а иногда оборудуются и самописцами.

Кроме того, существуют так называемые мембранные манометры (рис. 3.13, б), в которых жидкость воздействует на тонкую металлическую (или из прорезиненной материи) пластинку – мембрану. Получающаяся при этом деформация мембраны посредством системы рычагов передается стрелке, указывающей величину давления.

Рис. 3.13. Пружинный (а) и мембранный (б) манометры