Пример.

 

I этап.Построение области допустимых решений системы ограничений.

Рассмотрим первое ограничение:

разобьём неравенство на уравнение и строгое неравенство

 

Графическим решением уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно определить две точки, принадлежащие данной прямой.

Пусть , тогда , получили точку .

Пусть , тогда , получили точку .

Обозначим на графике (рисунок 1.1) прямую цифрой .

 

 

Графическим решением неравенства является одна из полуплоскостей, на которые разделила плоскость прямая . Чтобы выбрать нужную полуплоскость, возьмем контрольную точку (любую точку, нележащую на прямой ). Если контрольная точка удовлетворяет неравенству, то выбираем полуплоскость, содержащую контрольную точку, если не удовлетворяет неравенству, то выбираем полуплоскость, несодержащую контрольную точку. Например, контрольная точка . Подставим её в неравенство.

.

Так как контрольная точка не удовлетворяет неравенству, то выбираем правую верхнюю полуплоскость.

Рассмотрим второе ограничение:

 

Пусть , тогда , получили точку .

Пусть , тогда , получили точку .

Обозначим на графике (рисунок 1.1) прямую цифрой .

 

 

Контрольная точка . Подставим её в неравенство.

.

Так как контрольная точка удовлетворяет неравенству, то выбираем правую нижнюю полуплоскость.

 

Рассмотрим третье ограничение:

 

Пусть , тогда , получили точку .

Пусть , тогда , получили точку .

Обозначим на графике (рисунок 1.1) прямую цифрой .

 

Контрольная точка .

.

Так как контрольная точка удовлетворяет неравенству, то выбираем левую верхнюю полуплоскость.

Рассмотрим четвертое ограничение:

 

Прямая, проходящая параллельно оси через точку .

Обозначим на графике прямую (рисунок 1.1) цифрой .

Заштрихуем нижнюю полуплоскость.

 

 

Cистема ограничений описывает первую четверть плоскости и положительные полуоси и .

Получили область допустимых решений: .

 

II этап.Построим вектор-градиент .

III этап.Построим линию уровня .

Выберем точку , принадлежащую области допустимых решений.

, тогда . Построим линию уровня .

Рисунок 1.1.

IV этап.Чтобы найти точку максимума, будем перемещать линию уровня в направлении вектора-градиента до границы области допустимых решений. Граничная точка при таком движении будет точкой максимума (точка ).

Найдем координаты точки :

Получили координаты точки максимума – :

.

Чтобы найти точку минимума, будем перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору-градиенту до границы области допустимых решений (точка – точка минимума).

Найдем координаты точки . Составим систему уравнений из первого и третьего ограничений, т.к. точка лежит на пересечении и прямых:

Подставим координаты точки минимума в функцию цели:

.