Существование первообразной для аналитической функций. Формула Ньютона- Лейбница.
В этом пункте мы покажем, что формула Ньютона – Лейбница для вычисления определенных интегралов от действительных функций может быть при некоторых предположениях применена и в случае функции комплексной переменной. Предварительно сформулируем теорему для аналитической функции.
Теорема.26.3. Всякая аналитическая в односвязной области D функция f(z) имеет в этой области первообразную функцию F(z): 
(z)=f(z.)
Следующие две теоремы предлагается доказать самостоятельно.
Теорема.26.4. Если F(z) аналитическая и f(z)=0 в некоторый области Д1, то в этой области f(z)= const.
Теорема.26.5. Любые две первообразные для одной аналитической функции отличается на константу.
Неопределенным интегралом от аналитической функций F(z) называется совокупность всех первообразных от неё,и обозначается: 
.
Из теоремы 26.3 и 26.5 следует, что 
= 
+c
Теорема 26.6 Если f(z) аналитична в односвязной области D и Z1 Z2-любые две точки из D, то справедлива формула Ньютона-Лейбница
=F(z2)-F(z1),
где F(z)-любая первообразная для f(z), а слева стоит интеграл от f(z) по любой кривой соедениящей точки Z1 Z2 .
Доказательство. Функция F(z)= 
+С
является первообразной для f(z). Находим F(z1)=Сh, F(z2)= +C= +F(z1)
Отсюда =F(Z2)-F(Z1)
Пример.26.5. Вычислить интеграл I= 
sinzdz по любой кривой соединяющей точки Z1=1 Z2=i
Решение. Так как sinz аналитическая в односвязной области функция, то применима формула Ньютона-Лейбница
I= sinzdz =-cosz| 
=-cosi+cos1=cos1-ch1