Основные определения и постановка задачи

Определение 22.3.Функциональный ряд вида

или ряд вида:

(22.3)

Называется тригонометрическим рядом.

Постоянные числа , называются коэффициентами тригонометрического ряда. Его частичные суммы являются линейными комбинациями, входящих в систему

(22.4)

то есть

(22.5)

Тригонометрический ряд (22.3) можно записать и в виде суммы простых гармоник. Действительно, объединяя слагаемые с одинаковой частотой

Пологая получим

=

Запись в таком виде удобно в тех случаях, когда нужно знать амплитуду и начальную фазу -ой гармоники. При этом

и

Тогда ряд (22.3) принимает вид

(22.6)

Пусть теперь -произвольная периодическая функция с периодом . Постараемся разложить эту функцию в тригонометрический ряд в виде (22.6). в дальнейшем мы установим условия, при которых это возможно.

Поскольку эта функция имеет период , то ее можно рассматривать в любом интервале длины . Выберем в качестве основного интервала : на других участках оси ОХ функция будет повторять свои значения и свое поведение в основном интервале .

Выведем соотношения, с помощью которых будем отыскивать коэффициенты и .

Лемма 22.1. Тригонометрическая система (22.4) обладает следящими свойствами:

1.Интеграл по отрезку , от произведения двух различных функций входящих в него, равен нулю(это свойство называется ортогональностью системы(22.4)), то есть

(22.7)

(22.8)

Доказательство:

При любых целых неотрицательных таких, что , имеем:

Аналогично доказываются и два других неравенства (22.7).

Докажем теперь (22.8)

Теорема 22.1.Пусть

(22.9)

И ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно на отрезке . Тогда

(22.10)

Доказательство: Поскольку ряд стоящий в правой части равенства (22.9) сходится равномерно на отрезке , а все его члены являются непрерывными на этом отрезке функциями, то его сумма непрерывна на отрезке , а сам ряд может почленно интегрировать от до :

Если ряд (22.9) почленно умножить на и (n=1,2,3,…), то полученные ряды будут также равномерно сходится на отрезке

Интегрируя почленно эти ряды и используя свойство ортогональности (22.7) тригонометрической системы и равенства (22.8), будем иметь:

Определение 22.4. Пусть функция абсолютно интегрируема на отрезке . Тригонометрический ряд (223), коэффициенты которого задаются формулами (22.10), называются рядом Фурье или более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а числа и -коэффициентами Фурье функции .

В этом случае пишут:

Мы уже отмечали, что сумма ряда Фурье функции есть периодическая функция с периодом . Если ряд сходится в интервале , то он сходится и при всех остальных значениях и сумма его периодически повторяет те значения, которые она принимает в основном интервале и периодически продолженную на всю числовую ось. Поэтому говоря в дальнейшем о разложении в ряд Фурье функции, заданной в интервале , мы всегда будем считать, что речь идет о периодической функции. Если при этом значения функции на концах основного интервала равны между собой , то функция продолжается непрерывно. (рис 40.1), а если , при таком продолжении концы основного интервала будут вялятся точками разрыва функции(рис 40.2). но мы еще не можем утверждать, что образованный ряд Фурье сходится и что его сумма равна функции .