Примеры дифференциальных уравнений в естествознании и экономике.
Пример 7.1:Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой проведенной в этой же точке с коэффициентом пропорциональности к=3 составит дифференциальное уравнение (рис.11.2).
Решение:Пусть М(х,у) произвольная точка, через которую проходит кривая у = у (х)
По условию задачи
Так как по условию к=3, то уравнение (7.1) запишем в виде
(7.9)
Пример 7.2:Кривая проходит через точку (1;5) и обладает, тем свойством, что отрезок отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсиссе точки касания. Найти уравнение кривой.
Решение:Пусть М(х,у) –любая точка искомой кривой у = у (х) уравнение касательной в точке М(х,у) имеет
Где х,у –текущие координаты касательной. Пологая в этом уравнении х=0, находим
Так что ОВ: ОВ=
Условие задачи приводит к уравнению
(7.10)
Пример7.3: Материальная точка массы m=1г движется прямолинейно, на нее действует в направлении движения сила, пропорциональная времени с коэффииентом к1=2*10-5 кг м/с, и сила сопротивления пропорциональная скорости, с коэффииентом к2= 0,003кг/с. Найти скорость точки через 3сек после начала движения, если начальная скорость .
Решение:Пусть
Тело движется под действием равнодействующих двух сил ,
Дифферениальное уравнение движения запишется
(7.11)
Пример 7.4:рассмотрим следующую задачу о текучести рабочей силы.
Пусть изменение ∆у числа рабочих за время пропорционально с точностью до бесконечно малых более числу у( ) и длине рассматриваемого временного промежутка т.е
(7.12)
Знак минуса с права связан с тем, что мы рассматриваем задачу о текучести кадров, т.е , следовательно знак в правой части должен быть тоже отрицательным. Равенство (7.12) приближенное потому, что в нем опущены бесконечно малые более высокого порядка малости по сравнению с . Это в частности означает что чем меньше , тем точнее это приближенное равенство. Чтобы получить из приближенного равенства точное, нужно устремить к нулю. Однако, если это сделать непосредственно в (7.12), то это не даст ничего, кроме тривиального равенства 0=0, не дающего никакой информации для определения искомой функции у( ). Поэтому поступим иначе. Разделим обе части в равенстве (7.12) на :
После чего перейдем к пределу при .
В пределе получим
(7.13)
Пример 7.5:число рождений за момент времени . И численности населения в момент времени . Коэффициент пропорциональности обозначим через n; он измеряет рождаемость. Естественно, что этот коэффициент можно считать постоянным лишь в пределах такого интервала времени, в течении которого не происходит изменения условий, влияющих на рождаемость, также естественно, что этот коэффициент, вообще говоря, будет разным для разных регионов. Скажем, он в данный момент наибольшее значение имеет в Казахстане, а наименьший в Латвии и Эстонии.
С другой стороны, наряду с рождением новых членов общества имеет место и такое печальное явление как смерть, в силу старости, болезней, несчастных случаев. Число этих явлений также пропорционально численности населения и промежутку времени , коэффициент пропорциональности обозначим через m.
Рассуждая аналогично, как и в предыдущем примере, можем написать, что прирост населения равен разности между числом родившихся и числом , т.е
Откуда
Т.е для неизвестной численности населения получим уравнение
(7.14)
Где
Пример 7.6:Следующий пример приведем из естествознания.
Рассмотрим явление радиоактивного распада. Закон радиоактивного распада, гласит, что изменение массы радиоактивного вещества пропорционально в промежуток массе , длине промежутка . Коэффициент обозначим через .
Имеем
Откуда, рассуждая как и выше, получим уравнение
(7.15)
Таким образом мы пришли к понятию дифференциального уравнения.
Определение 7.1Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее искомое функции у, и независимое переменное и ее производные от искомой функции.
Символически дифференциальное уравнение записывается в виде
( )
Здесь есть заданная функция от (n+2) переменных, удовлетворяющая определенным условиям непрерывности и дифференцируемости, а функция от х –решение дифференциального уравнения, которое надо найти.
Определение 7.2Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производных, входящих в данное уравнение.
В примерах (1-6) является дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение вида
Является уравнением четвертого порядка.
Определение 7.3Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция , имеющая на некотором интервале (а,б) производные , ,…, до n порядка включительно и удовлетворяющая этому уравнению.
Это значит, что выполняется тождество по х
Для дифференциального уравнения решением является функция
Действительно,
Рассмотрим еще одно уравнение
Решением является функция
Действительно,