Вычисление потенциала поля в декартовых координатах.

Формулой

(6.10)

можно пользоваться для нахождения потенциальной функции заданного потенциального поля

a(x, y, z)=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Для этого зафиксируем начальную точку М₀(x₀, y₀, z₀) и соединим ее с текущей точкой М(x, y, z) ломанной М₀АВМ, звенья которой параллельны координатным осям, а именно, М₀А║Ох, АВ║Оу, ВМ║Оz (рис.6.2). Тогда формула (6.6) примет вид

, (6.11)

где х, у, z- координаты текущей точки на звеньях ломанной, вдоль которых ведется интегрирование.

Пример 6.7.Доказать, что векторное поле

a= (e + z)i + (x + z)j + (x + y)k

является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение. 1-й способ. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля а(М) является равенство нулю rot a(M). В нашем случае

т. е. поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (6.10). За начальную фиксированную точку примем начало координат О(0, 0, 0). Тогда получим

 

Итак,

 

где С- произвольная постоянная.

 

Z

 

 

 

Y

 

X рис. 6.2.

2-й способ. По определению потенциал есть такая скалярная функция, для которой grad φ=а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Интегрируя (6.12) по х, получим

, (6.15)

где f(y, z)-произвольная дифференцируемая функция от y и z. Дифференцируя по у обе части (6.12) и учитывая (6.11), получим соотношение для нахождения пока неопределенной функции f(y, z). Имеем

или

,

откуда

. (6.16)

Проинтегрировав (6.16) по у, будем иметь

, (6.17)

где F(z)- пока неопределенная функция от z. Подставив (6.17) в (6.11) получим

.

Продифференцировав последнее равенство по z и учитывая соотношение (6.12), получим уравнение для нахождения F(z):

Отсюда , так что .

Итак,

.

3-й способ. По определению полного дифференциала функции имеем

Подставляя сюда вместо частных производных , , их выражения из (6.10), (6.11), (6.12), получим

dφ =(y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz

или, после несложных преобразований,

dφ=(ydx+xdy)+(zdx+xdz)+(ydz+zdy)=d(xy)+d(xz)+d(yz)=d(xy +xz +yz).

Итак,

dφ=d(xy + yz + zх).

Отсюда следует, что

.

В том случае, когда область Ω является звездной с центром в начале координат О(0, 0, 0), потенциал φ(М) векторного поля а=а(М) в точке М(x, y, z) можно находить по формуле

, (6.18)

где r(M)=xi + yj + zk- радиус-вектор точки M(x, y, z), а точка (tx,ty,tz) при пробегает отрезок ОМ прямой, проходящей через точки О и М.

Пример 6.8. Найти потенциал векторного поля

а= yzi + xzj + xyk.

Решение. Легко видеть, что rot a 0, т. е. данное векторное поле потенциально. Это поле определено во всем трехмерном пространстве, которое является звездным с центром в начале координат О(0, 0, 0), поэтому для нахождения его потенциала воспользуемся формулой (6.12). Так как в данном случае

a( )=а(tx, ty, tz)= t² yzi + t² xzj + t² xyk,

то скалярное произведение векторов a( ) и r(M) равно

(a( ), r(M))=t² (xyz+xyz+xyz)=3t²xyz.

Искомый потенциал

Итак,