Критерий потенциальности векторного поля.

Теорема 6.1Для того чтобы векторное поле a(M), заданное в односвязной области V было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области V выполнялось условие

rot a = 0. (6.7)

Иными словами, для того чтобы векторное поле, заданное в односвязной области, было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Потенциал φ(x,y,z) векторного поля

= P(x, у, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k

определяется формулой

, (.6.8)

где (x₀, у₀, z₀) - некоторая фиксированная точка поля, a (x, y, z) -произвольная текущая точка.

Пример.6.5. Показать, что поле вектора

= x²i + y²j + z²k

является потенциалом.

Решение. Координаты P=x², Q=y², R=z² вектора а являются бесконечно дифференцируемыми функциями во всем пространстве, так что аесть бесконечно дифференцируемый вектор, определенный во всем трехмерном пространствe. Имеем

 

 

В силу теоремы (6.1) поле вектора а потенциально. Легко видеть, что функция

,

где С- произвольная постоянная, является потенциалом данного поля.