Потенциальное поле. Признаки потенциальности поля.

Определение 6.3.Векторное поле a(M)=P(x,у,z)i+Q(x,y,z)j+ +R(x,y,z)k заданное в пространственной области V называется потенциальным, если существует такая скалярная функция φ(M) что во всех точках области V выполняется равенство

a(M) = grad φ(M) (6.5)

Функция φ(M) = φ(x,y,z), удовлетворяющая в области V равенству называется потенциалом ( или потенциальной функцией ) векторного поля a.

Соотношение (6.5) равносильно следующим трем скалярным равенствам:

Потенциал поля определяется неоднозначно, с точностью до постоянного слагаемого.

Замечание. Для силовых полей функция φ(M) обычно называется силовой функцией, а потенциалом называется функция - φ(M).

Пример 6.4.(Электростатическое поле точечного заряда.) Показать, что поле электрической напряженности Е, создаваемое точечным зарядом q помещенным в начале координат:

,

является потенциальным полем.

Решение. Задача ставится так: показать, что существует функция φ(x,y,z) такая, что выполняются соотношения (6.2).

В нашем случае имеем , .

Так как

и аналогично , ,

то функция

является потенциалом данного поля:

grad =E.

В данном примере начало координат, где сосре-доточен заряд q, является особой точкой поля Е.