Итак, параметрические уравнения векторных линий будут
(3.4)
Точке (1,0,0) соответствует значение параметра t, равное нулю. Полагая t=0 в системе (3.4), получим
Откуда находим с1=1, с2=0,и значит параметрические уравнения векторной линии, проходящей через точку (1,0,0), будут
-это винтовая линия.
Векторное поле называется плоским, если все векторы расположены в параллельных плоскостях и поле одно и тоже в каждой из этих плоскостей.
Если в какой-либо из этих плоскостей ввести декартову систему координат ХОУ, то векторы поля не будут содержать компоненты по оси OZ и координаты вектора не будут зависеть от z, то есть
. Дифференциальные уравнения векторных линий плоского поля будут иметь вид: или
Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости ХОУ.
Пример 3.3.Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.
Решение. Будем считать, что проводник направлен по оси OZ и в этом же направлении течет ток I. Вектор напряженности Н магнитного поля, создаваемого током, равен
Н= (3.5)
где I=I∙K есть вектор тока, r-радиус-вектор точки M(x,y,z), -расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (3.5), получим .
Дифференциальные уравнения векторных линий откуда , то есть векторные линии являются окружностями с центрами на оси OZ.
Пример 3.4.Найти векторные линии следующего поля
Решение. Составим дифференциальное уравнение , интегрируя, получим , . То есть
Дифференциальные уравнения векторных линий , могут быть записаны так: или в векторной форме:
, (3.6)
где . Эта форма уравнений векторных линий оказывается удобной при решении подобных задач.
Пример 3.5. Найти векторные линии поля , где -постоянный вектор.
Решение. Применяя соотношения (3.6), получим
(3.7)
Умножая обе части (3.7) скалярно на и используя свойства смешанного произведения, находим
(3.8)
Аналогично, умножая обе части (13.7) скалярно на , получим
(3.9)
Из уравнения (3.8) следует, что , а из уравнения (3.9) следует, что . Векторные линии являются линиями пересечения плоскостей со сферами .