Производная по направлению
Пусть имеем скалярное поле, определяемое скалярной функцией U=f(M). Возьмем в поле точку М0 и выберем некоторое направление, определяемое вектором 
. Возьмем в поле другую точку М1 так, чтобы вектор 
был параллелен вектору .
Обозначим через 
разность 
. А через 
длину вектора 
. Отношение 
определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины по данному направлению.
Будем стремить точку М1 к точке М0 так, чтобы вектор 
оставался все время коллиниарен вектору 
. При этом 
.
Определение 1.3.Если существует при 
предел отношения 
, то его называют производной функциеи U=f(M) в данной точке М0 по направлению 
и обозначают символом 
. Так что по определению
= 
= 
, 
.
Это определение производной по направлению носит инвариантный характер, то есть не связано с выбором системы координат.
Пусть в пространстве введена декартова система координат и пусть функция f(M)=f(x,z,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0,z0).Тогда
(1.3.)
где cos 
, cos 
, cos 
- направляющие косинусы вектора 
. Находятся по формулам
, 
. 
(1.4)
символы 
, означают, что частные производные берутся в точке М0.
Пример 1.5. Найти производную скалярного поля U=x2+y2+z2 в точке М0(1;2;-1) в направлении вектора 
.
Решение. а) Находим направляющие косинусы вектора по формуле (1.4):
= 
= 
, 
= 
(1.5)
б) Находим частные производные функции в точке М0(1;2;-1)
(1.6.)
(1.5) и (1.6) подставляя в (1.3), получим
Пример 1.6. Найти производную скалярного поля U=xyz в точке М0(1;-1;1).
Решение. а) Находим направляющие косинусы вектора 
= 
= 
(1.7.)
б) Находим частные производные функций в точке М0(1;-1;1).
(1.8)
Используя формулы (1.3) и учитывая (1.7), (1.8) имеем
Для плоского поля U=f(x,y) производная по направлению в точке М0(x0,y0,z0) будет равна
, (1.9)
где - угол , образованный вектором с осью ox.
Пример1.7. Вычислить производную скалярного поля U=arctgxy в точке М0(1,1), принадлежащей параболе y=x2 , по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы).
Решение. Направлением параболы у=х2 в точке М0(1,1) считается направление касательной к параболе в этой точке.
Пусть касательная к кривой в точке М0 образует с осью ох угол . Пусть 
откуда направляющие косинусы касательной 
.
Значение частных производных данной функции U(x,y) в точке М0(1;1)
; 
.