Условные экстремумы функций двух переменных
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть имеется функция 
, аргументы x и y которой удовлетворяют условию 
, называемому уравнением связи.
Определение 1. Точка 
называется точкой условного максимума или минимума, если существует такая ее окрестность, что для всех точек 
из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство 
или 
.
Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например выразить y через x, т.е 
. Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим 
, т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
.
Эта функция называется функцией Лагранжа, а 
- множителем (коэффициентом) Лагранжа. Доказывается следующая теорема:
Теорема 1. Если точка 
является точкой условного экстремума функции при условии , то существует значение 
такое, что точка 
является точкой экстремума функции 
.
Таким образом, для нахождения условного экстремума функции при условии требуется найти решение следующей системы:
Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи. Данная система выражает необходимые условия Лагранжа условного экстремума.
Из этой системы уравнений находят критические точки условного экстремума.
Определение 2. Точка называется критической точкой функции Лагранжа, если 
, 
, 
(или не существуют).
Для исследования критических точек на экстремум вычисляем в полученных точках значения 
, 
, 
, 
, 
и составляем определитель
.
Тогда достаточные условия условного экстремума запишутся в следующем виде:
1. Если 
, то функция имеет в точке условный минимум;
2. если 
- то условный максимум.
Исследование функции на условный экстремум с помощью метода множителей Лагранжа проводится по следующему алгоритму:
1. Составить функцию Лагранжа
.
2. Найти частные производные 
, 
, 
и приравнять их к нулю, т.е. составить необходимые условия экстремума функции Лагранжа.
3. Решить систему уравнений
и найти критические точки.
4. Найти частные производные:
, , , , .
5. Вычислить значения найденных частных производных в каждой критической точке.
6. Из найденных значений составить определитель 
.
7. С помощью достаточных условий сделать вывод о характере экстремальной точки.
8. Найти значения функции в точках условного экстремума.
| x |
| y |
| 0 |
| Рис.1 |
пунктирная (рис.1), линии уровня 
функции 
– сплошные. В точке условного экстремума линия уровня функции 
касается линии .
Рассмотрим типичные примеры для решения которых используются приведенные понятия, определения и теоремы:
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 
при условии 
.
Решение. Из уравнения связи выразим переменную y через переменную x и подставим полученное выражение 
в функцию z. Получим 
или 
. Эта функция одного переменного. Исследуем ее на экстремум:
1. Находим производную 
.
2. Приравняем производную к нулю, получим уравнение 
, решением которого служит значение 
.
3. Находим вторую производную 
, так как ее значение в критической точке больше нуля, то по второму достаточному условию экстремума делаем вывод, что – точка минимума функции .
При этом соответствующее значение функции 
. Таким образом, 
– точка условного экстремума (минимума) и 
.
Ответ: – точка условного минимума; 
.
Пример 2. Найти экстремумы функции 
при условии 
.
Решение. Используем метод множителей Лагранжа. Уравнение связи имеет вид:
.
1. Составим функцию Лагранжа: 
;
2. Находим частные производные: 
, 
, 
.
3. Приравняем частные производные к нулю, получим систему:
Таким образом, получили две критические точки 
при 
и 
при 
.
4. Находим следующие производные: 
; 
; 
, 
; 
.
5. Вычисляем значения найденных частных производных в каждой критической точке:
1) 
при 
:
; 
; 
, 
; 
;
2) при :
; 
; 
, 
; 
.
6. Составляем из найденных значений определитель:
1) 
,
2) 
7. Проверяем в каждой точке выполнение достаточного условия. Так как 
, то в точке 
условный минимум; а из того, что 
делаем вывод, что в точке 
условный максимум.
8. Вычисляем значения функции в критических точках: 
, 
.
Ответ: при - точка условного максимума, 
;
при – точка условного минимума, 
.
Пример 3. Найти экстремумы функции 
при условии, что 
.
Решение. Используем метод множителей Лагранжа.
1. Составим функцию Лагранжа: 
;
2. Находим частные производные: 
, 
, 
.
3. Приравняем частные производные к нулю, получим систему:
Из первых двух уравнений системы находим 
; подставляем это выражение в третье уравнение, получаем два решения 
и 
. Таким образом, получили две критические точки 
при 
и 
при 
.
4. Находим следующие производные: ; ; 
, 
; 
.
5. Вычисляем значения найденных частных производных в каждой критической точке:
1) 
при 
:
; 
; 
, 
; 
;
2) при :
; 
; 
, 
; 
.
6. Составляем из найденных значений определитель:
1) 
,
2) 
.
7. Проверяем в каждой точке выполнение достаточного условия. Так как 
, то в точке 
условный максимум; а из того, что 
делаем вывод, что в точке 
условный минимум.
8. Вычисляем значения функции в критических точках: 
, 
.
Ответ:
при 
- точка условного максимума, 
;
при – точка условного минимума, 
.