Выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

Выразим Z – преобразование выходного сигнала фильтра через Z – преобразование входного сигнала

Разделив Y(z) на X(z), найдем системную функцию

Найдем комплексный коэффициент передачи фильтра, используя подстановку .

Обозначим

(П.1)

где

Тогда АЧХ и ФЧХ (без приведения в интервал от -π до π) фильтра определятся следующими соотношениями

, (П.2)

Так как второе слагаемое в выражении для ФЧХ - константа (0 или π), ФЧХ этого фильтра является линейно-ломаной.

Линейность ФЧХ обусловлена симметрией коэффициентов системной функции относительно середины линии задержки (симметрией импульсной характеристики фильтра).

3. Синтез нерекурсивного фильтра с линейной ФЧХ методом ряда Фурье и «окна»

Задачей синтеза фильтра является определение коэффициентов его системной функции при заданных требованиях к АЧХ. В случае фильтра с линейной ФЧХ и АЧХ, определяемой рядом косинусов (П.1) и (П.2), этими коэффициентами являются коэффициенты .

Из (П.1) видно, что функция , определяющая АЧХ фильтра, является периодической функцией с периодом 2π.

Пусть требуется выполнить синтез ФНЧ, у которого функция A(θ) стремится к функции D(θ), показанной на рисунке П.2 в интервале изменения θ от –π до π.

Рисунок П.2 – Идеальная АЧХ ФНЧ

Разложение функции D(θ) в ряд Фурье позволяет определить коэффициенты

, (П.3)

где m = 1,2 ..K.

В качестве примера приведем рассчитанные по формулам (П.3), (П.1) и (П.2) функцию и АЧХ К(θ) при θ₀= π / 2, K=3.

Рисунок П.3 - Функция при θ₀= π / 2, K=3

Рисунок П.4 –АЧХ К(θ) при θ₀= π / 2, K=3

Вместе с графиком реальной АЧХ K(θ) показана идеальная прямоугольная АЧХ D(θ). При K=3 эти характеристики сильно отличаются друг от друга. Особенностью АЧХ являются пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

На рисунках П.5 и П.6 приведены АЧХ фильтров при K=10 и K=20 соответственно.

Рисунок П.5 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀= π / 2, K = 10

Рисунок П.6 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀= π / 2, K = 20

На этих рисунках используется логарифмический масштаб по оси ординат для того, чтобы АЧХ была более наглядной в полосе задерживания.

Из рисунков видно, что увеличение длины линии задержки (уменьшение количества отбрасываемых членов разложения Фурье), делая АЧХ более прямоугольной, не устраняет пульсации АЧХ. С увеличением длины линии задержки частота пульсаций увеличивается, однако максимальный уровень первого бокового лепестка в полосе задерживания остается практически неизменным и равным 0.1.

Пульсации АЧХ вблизи точек разрыва функции, связанные с ограничением членов разложения в ряд Фурье, получили название явления Гиббса.

Для уменьшения пульсаций рядом специалистов по цифровой обработке сигналов было предложено использование так называемых «оконных функций».

Сущность метода состоит в следующем: вместо коэффициентов системной функции b_m используют коэффициенты

где - m-ый отсчет оконной функции.

Простому ограничению ряда Фурье соответствует прямоугольное окно

Несколько других функций приведено в таблице П.1.

Таблица П.1 - Функции окна

Название окна	Функция окна
Окно фон Ганна (приподнятый косинус)
Окно Хемминга
Окно Блэкмана
Окно Ланцоша	, где L - целое число

На рисунках П.7 и П.8 показаны АЧХ рисунков П.5 и П.6 соответственно после операции сглаживания с использованием окна Хемминга. Из сопоставления АЧХ до сглаживания и после него видно, что эта операция приводит к существенному (примерно на 40 дБ) ослаблению пульсаций, но и к расширению переходной полосы между полосой пропускания и полосой задерживания фильтра.

Рисунок П.7 – АЧХ фильтра при θ₀= π / 2, K=10 и сглаживанием пульсаций функцией

Хемминга

Рисунок П.8 – АЧХ фильтра при θ₀= π / 2, K=20 и сглаживанием пульсаций функцией

Хемминга

Описанный метод синтеза рассмотрен на примере фильтра нижних частот. Однако его нетрудно распространить на фильтры других типов.

Например, АЧХ полосового фильтра с граничными значениями полосы θ₁ и θ₂ можно представить в виде разности АЧХ ФНЧ, как это показано на рисунке П.9.

Такое представление АЧХ позволяет определить коэффициенты разложения в ряд Фурье b_m как разность соответствующих коэффициентов разложений в ряд Фурье АЧХ ФНЧ

Рисунок П.9 – Представление АЧХ полосового фильтра в виде разности АЧХ ФНЧ

D(θ)=D₂(θ) – D₁(θ)

Аналогичным образом находятся коэффициенты разложения для режекторного фильтра (РФ) и фильтра верхних частот (ФВЧ) соответственно

РАБОТА №3

СИНТЕЗ НЕРЕКУРСИВНОГО ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА С ЛИНЕЙНОЙ ФЧХ

МЕТОДОМ НАИЛУЧШЕЙ РАВНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Исследование влияния длины линии задержки и весовой функции, используемой при синтезе, на АЧХ фильтра

2. ЛИТЕРАТУРА

2.1. Приложения к лабораторной работе №3

2.2. Приложение к лабораторной работе №2

2.3. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры, Самара, 2008г.

3. ПОДГОТОВКА К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Изучите указанную в разделе 2 литературу и ответьте на контрольные вопросы.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

4.1. Начертите схему нерекурсивного цифрового фильтра с линейной ФЧХ, содержащего 2K элементов задержки. Запишите разностное уравнение фильтра.

4.2. Дайте определение системной функции фильтра. Запишите выражение для системной функции цифрового фильтра с линейной ФЧХ

4.3. Как определить комплексный коэффициент передачи фильтра, если известна его системная функция? Запишите выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра с линейной ФЧХ.

4.4. Как определить АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра, если известна системная функция фильтра?

4.5. Дайте определение импульсной характеристики цифрового фильтра. При какой импульсной характеристике нерекурсивного цифрового фильтра получается линейная ФЧХ?

4.6. Как изменяется форма АЧХ нерекурсивного цифрового фильтра при увеличении длины линии задержки (количества элементов задержки)?

4.7. Как зависят пульсации АЧХ от весовых коэффициентов?

4.8. Поясните сущность синтеза фильтра методом наилучшей равномерной аппроксимации.

5. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

5.1. Выполните синтез полосового цифрового фильтра по программе Filter1.

Исходными данными для синтеза являются:

· Минимальное значение нормированной частоты левой полосы задерживания fN1min,

· Максимальное значение нормированной частоты левой полосы задерживания fN1max,

· Минимальное значение нормированной частоты полосы пропускания fNmin,

· Максимальное значение нормированной частоты полосы пропускания fNmax,

· Минимальное значение нормированной частоты правой полосы задерживания fN2min,

· Максимальное значение нормированной частоты правой полосы задерживания fN2max,

· Требуемый коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания K,

· Требуемый коэффициент передачи фильтра в полосе задерживания Kz,

· Весовой коэффициент в полосе пропускания g1,

· Весовой коэффициент в полосе задерживания g2,

· Длина (количество отсчетов) импульсной характеристики N.

На рисунке 1 приведена требуемая АЧХ фильтра.

Рисунок 1 – Требуемая АЧХ фильтра

Для полосового фильтра fN1min=0, fN2max=0.5. Остальные граничные частоты и длина импульсной характеристики заданы в таблице 1.

При выполнении этого пункта задания всем бригадам принять K=1, Kz=0, g1=g2=1.

5.2. Исследуйте влияние длительности импульсной характеристики на пульсации АЧХ в полосе пропускания δ1 и в полосе задерживания δ2 при весовых коэффициентах g1=g2=1; g1=1, g2=0.5; g1=1, g2=2.

5.3. Снимите зависимость амплитуды синусоидального сигнала на выходе фильтра Y от частоты сигнала при значении N, указанном в таблице 1, g1=g2=1 и амплитуде входного сигнала X=1. Для выполнения этого пункта задания воспользуйтесь программой Filter2.

Таблица 1-Параметры фильтра

Номер бригады	Параметры
fNmin	fNmax	fN1max	fN2min	N

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать:

6.1. Графики импульсной характеристики и АЧХ при параметрах, заданных в таблице 1.

6.2. Таблицу и графики зависимостей амплитуды пульсаций в полосе пропускания и в полосе задерживания от длительности импульсной характеристики при весовых коэффициентах g1=g2=1; g1=1, g2=0.5; g1=1, g2=2.

6.3. Таблицу и график зависимости амплитуды выходного синусоидального сигнала от нормированной частоты.

6.4. Выводы по всем пунктам задания

7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

Лабораторная работа выполняется в программной среде scilab-5.3.3. Откройте эту программу. Появится основное окно приложения.

Щелчком левой кнопки мыши откройте редактор (Инструменты → Текстовый редактор SciNotes). Появится окно для редактирования. Из редактора откройте файл “Filter1”. Появится текст программы (Приложение Б к лабораторной работе №3).

Программа начинается с ввода исходных данных. При расчетах используются нормированные частоты fN – отношения абсолютных значений частот к частоте дискретизации. Минимальное значение нормированной частоты в пределах интервала Котельникова равно нулю, а максимальное 0.5. Затем следует расчёт импульсной характеристики фильтра длиной в N отсчетов с использованием функции Scilab “eqfir” и расчёт АЧХ с использованием функции Scilab “frmag. Для выдачи графиков используется графическое окно (рисунок 1).

Программа предусматривает возможность увеличения отдельных областей графиков, как это показано на рисунке 2, а также возврата в исходное состояние. Увеличение выделенной области можно осуществлять неоднократно до достижения желаемого эффекта.

Введите исходные данные для синтеза фильтра и запустите программу (Выполнение → …файла без отображения команд). Вы получите командное окно с графиками импульсной характеристики и АЧХ фильтра, подобные тем, что приведены на рисунке 1. Их можно скопировать в буфер обмена, а затем в Word для оформления отчета.

Рисунок 1- Графическое окно

По этой же программе выполняется исследование влияния длительности импульсной характеристики и весовых коэффициентов на пульсации АЧХ фильтра. Результаты сводятся в таблицу 2. В этой таблице δ1-максимальное по абсолютной величине отклонение реальной АЧХ в полосе пропускания от единицы, а δ2 -- максимальное отклонение реальной АЧХ в полосе задерживания от нуля.

Начальное значение длительности импульсной характеристики возьмите из таблицы 1. Каждое последующее значение должно быть больше предыдущего на 10 отсчетов. По данным таблицы постройте графики зависимостей δ1 и δ2 от N при разных весовых коэффициентах.

Рисунок 3 – Графическое окно с увеличенной областью

АЧХ

Таблица 2

Зависимости амплитуды пульсаций АЧХ от длительности импульсной характеристики

и весовых коэффициентов

N	Амплитуда пульсаций δ
g1=g2=1	g1=1, g2=0.5	g1=1, g2=2
δ1	δ2	δ1	δ2	δ1	δ2

2. Чтобы снять зависимость амплитуды синусоидального сигнала на выходе фильтра Y от частоты сигнала воспользуйтесь программой Filter2 (Приложение В).

Введите в программу параметры фильтра из таблицы 1, требуемый коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания K=1, требуемый коэффициент передачи фильтра в полосе задерживания Kz = 0, весовые коэффициенты g1=g2=1, амплитуду входного синусоидального сигнала X=1.

Значения частот сигнала приведены в таблице 3.

Амплитуда выходного сигнала замеряется по графику зависимости амплитуды выходного сигнала от частоты после завершения переходных процессов в установившемся режиме. Этот график находится в графическом окне, выдаваемом программой, вместе с временными диаграммами входного и выходного сигналов фильтра (рисунок 4).

Для определения амплитуды выходного сигнала фильтра в программе используется следующий прием.

На вход фильтра подается сигнал

Определяется выходной сигнал

На вход копии синтезированного фильтра подается сигнал

Определяется выходной сигнал

Находится амплитуда выходного сигнала

Поскольку амплитуда входного сигнала фильтра равна единице, то коэффициент передачи фильтра численно равен амплитуде выходного сигнала. Полученные значения коэффициента передачи фильтра нанесите точками на рассчитанный график АЧХ фильтра. Запишите в отчет вывод о соответствии АЧХ, снятой при выполнении машинного эксперимента, рассчитанной ранее АЧХ.

Таблица 3

Зависимость амплитуды синусоидального сигнала

на выходе фильтра от частоты (АЧХ фильтра)

Нормированная частота fN	Амплитуда выходного сигнала Y

Рисунок 4 – Временные диаграммы входного и выходного сигналов фильтра и

зависимость амплитуды выходного сигнала от нормированной частоты

ПРИЛОЖЕНИЕ А

к лабораторной работе №3

Синтез нерекурсивного цифрового фильтра с линейной ФЧХ методом наилучшей

равномерной аппроксимации

Метод разложения функции, описывающей требуемую АЧХ фильтра, в ряд Фурье с последующим применением оконных функций позволяет синтезировать фильтры с линейной ФЧХ и АЧХ с допустимыми пульсациями, причем уровень пульсаций зависит от частоты. В Приложении к лабораторной работе №2 показано, что уровень пульсаций в полосе задерживания уменьшается по мере удаления от переходной полосы. Однако при синтезе приходится ориентироваться на максимальный уровень пульсаций, который должен быть меньше допустимого. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли уменьшить максимальный уровень за счет выравнивания пульсаций в пределах заданной полосы. Ответом на этот вопрос является метод наилучшей равномерной аппроксимации.

На рисунке П.1 приведены требуемая АЧХ полосового фильтра D(θ), заданная в полосе пропускания и в полосе задерживания, и аппроксимирующая функция A(θ) с равновеликими пульсациями

Рисунок П.1 – Требуемая АЧХ D(θ) и функцияA(θ) при чебышевской аппроксимации

Точками обозначены экстремумы этой функции.