Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление.

На рисунке изображена так называемая скелетная схема пассивной цепи. На ней показаны ветви и узлы. В каждой ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: m и k. Поместим в ветвь m ЭДС Е_m (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, чтобы k-ветвь входила только в k-контур, а m-ветвь — только в m-контур. ЭДС Е_m вызовет токи в ветвях k и m:

 

Коэффициенты g имеют размерность проводимости.
Коэффициент g с одинаковыми индексами (g_mm) называют входной проводимостью ветви (ветви m). Он численно равен току в ветви m, возникшему от действия ЭДС Е_m = 1В (единичной ЭДС):
I_m = 1_mm.
Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными проводимостями. Так, g_km есть взаимная проводимость k и m-ветвей. Взаимная проводимость g_km численно равна току в k-ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в m-ветви¹.
Входные и взаимные проводимости ветвей используют при выводе общих свойств линейных электрических цепей и при расчете цепей по методу наложения [см. формулу (2.7)].
Входные и взаимные проводимости могут быть определены расчетным и опытным путями.
При их расчетном определении составляют уравнения по методу контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы А и по нему необходимые алгебраические дополнения:

По формуле (2.10) g_km может получиться либо положительной, либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС E_m, направленная согласно с контурным током в m-ветви, вызывает ток в k-ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным направлением контурного тока I_k по k-ветви.
При опытном определении g_mm и g_km в m-ветвь схемы (рис. 2.15, б) включают источник ЭДС E_m, а в k-ветвь — амперметр (миллиамперметр). Поделим ток I_k на ЭДС E_m и найдем значение g_km. Для определения входной проводимости ветви m(g_mm) необходимо измерить ток в m-ветви, вызванной ЭДС E_m. Частное от деления тока m-ветви на эдс m-ветви и дает g_mm.

Выделим m-ветвь, обозначив всю остальную часть схемы (не содержащую ЭДС) некоторым прямоугольником (рис. 2.16). Вся схема, обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам ab обладает некоторым сопротивлением. Его называют входным сопротивлением. Входное сопротивление m-ветви обозначим R_вхm. Тогда

Таким образом, входное сопротивление m-ветви есть величина, обратная входной проводимости этой ветви. Его не следует смешивать с полным сопротивлением m-контура в методе контурных токов.

Пример 15. Определить входную g₁₁ и взаимную g₁₂ проводимости в схеме рис. 2.13.
Решение. Контуры в схеме рис. 2.13 выбраны так, что ветвь / (ветвь cbm) с источником ЭДС £, входит только в первый контур, а ветвь 2 (ветвь са)с источником ЭДС E₂ — во второй.
Поэтому можно воспользоваться определителем системы Δ и алгебраическими дополнениями Δ₁₁ и &Delta₁₂, составленными по данным примера 13:

 

¹ Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе: входная проводимость m-ветви — это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС этой ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы); взаимная проводимость ветвей k и m — коэффициент пропорциональности между током ft-ветви и ЭДС m-ветви при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы.