Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования является одним из основных методов.
Этот прием интегрирования применяется в том случае, если интеграл табличный или легко сводится к одному или нескольким табличным, путем использования свойств подынтегральной функции или следующих правил интегрирования:
1. 
,
2. 
,
где ¦(х), 
- интегрируемые функции, k=const.
Пример 1. Найти 
.
Решение. Представляя интеграл от алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов и применяя формулы 1, 2 таблицы основных интегралов, получим
.
Замечание. Нет необходимости ставить произвольную постоянную после вычисления каждого интеграла, т.к. их сумма есть также произвольная постоянная, которую обозначают одной буквой и записывают в окончательный ответ.
Пример 2.Найти 
.
Решение.Возведём двучлен в квадрат и запишем каждое слагаемое в виде степенной функции, затем, произведя почленное деление и применив формулы 2, 3 таблицы основных интегралов, получим
.
Пример 3. Найти 
.
Решение. Заменив единицу в числителе выражением sin²x+cos²x и почленно разделив числитель на знаменатель, получим
.
Пример 4.Найти 
.
Решение.Прибавим и вычтем х² в числителе подынтегральной функции, вынесем за скобки х2 в знаменателе и почленно разделим числитель на знаменатель. Получим:
Пример 5.Найти 
.
Решение.Воспользуемся формулой тригонометрии 
. Тогда получим
.
2.5.4.2.Метод подстановки
Во многих случаях удаётся введением вместо х новой переменнойt, связанной с хнекоторым соотношением, свести 
к новому интегралу, который содержится в таблице или легко находится другим методом.
Этот метод получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.
Теорема: Пусть 
– непрерывная функция и дан интеграл . Вместо х введём новую переменную t, связанную с хсоотношением 
, где 
– непрерывная, строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную 
. Тогда 
На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Пример 1.Найти 
.
Решение. Пусть 
, тогда 
.
Подставляя в исходный интеграл, получим: 
.
Пример 2. Найти 
Решение. Пусть 
