Геометрический способ решения антагонистических игр
Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно упростить игры, применяя следующие принципы:
1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;
2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.
Рассмотрим платежную матрицу
   5
| 4
| 3
| 2
| 3
|
| 5
|  6
| 6
| ||
  2
| 3
| 3
| 2
| 4
|
Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков.
Путем упрощения, ее можно свести к матрице (2 * 2)
| ВJ АJ | В1 | В2 |
| A1 | ||
| A2 |
р1 - вероятность применения игроком А стратегии A1;
р2 - вероятность применения игроком А стратегии A2.
Так как р1+ р2=1, то р2=1- р1. Тогда получим:
| Чистые стратегии игрока В | Ожидаемые выигрыши игрока А |
| В1 | 4 р1+3 р2= (4-3)р1+3=р1+3 |
| В2 | 2 р1+5 р2=(2-5)р1+5=-3р1+5 |
На оси Ох разместим точки р1=0 и р1=1, через которые проведем прямые, перпендикулярны оси Ох. Подставляя р1=0 и р1=1 в выражение р1+3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.
Аналогично рассмотрим выражение -3р1+5.
Оптимальная стратегия первого игрока найдется из равенства выражений
р1+3 и -3р1+5: р1= р2=0,5. SA = (0,5; 0; 0,5; 0), при этом цена игры равна 3,5.
Для второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично.
Если же игра не сводится путем упрощения к 2 x n или m x 2, то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.