Геометрический способ решения антагонистических игр

Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно упростить игры, применяя следующие принципы:

1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;

2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.

Рассмотрим платежную матрицу

 

5 4 3 2 3
5 6 6
2 3 3 2 4

 

Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков.

Путем упрощения, ее можно свести к матрице (2 * 2)

ВJ АJ В1 В2
A1
A2

 

р1 - вероятность применения игроком А стратегии A1;

р2 - вероятность применения игроком А стратегии A2.

Так как р1+ р2=1, то р2=1- р1. Тогда получим:

Чистые стратегии игрока В Ожидаемые выигрыши игрока А
В1 4 р1+3 р2= (4-3)р1+3=р1+3
В2 2 р1+5 р2=(2-5)р1+5=-3р1+5

 

На оси Ох разместим точки р1=0 и р1=1, через которые проведем прямые, перпендикулярны оси Ох. Подставляя р1=0 и р1=1 в выражение р1+3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.

Аналогично рассмотрим выражение -3р1+5.

Оптимальная стратегия первого игрока найдется из равенства выражений

р1+3 и -3р1+5: р1= р2=0,5. SA = (0,5; 0; 0,5; 0), при этом цена игры равна 3,5.

Для второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично.

Если же игра не сводится путем упрощения к 2 x n или m x 2, то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.