Формула Тейлора и ряд Тейлора

 

Пусть функция в окрестности точки имеет непрерывные производные до порядка включительно. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора

 

,

 

где

 

,

 

а – остаточный член в форме Пеано.

В частном случае при эту формулу называют формулой Маклорена.

Если функция в окрестности точки имеет непрерывные производные всех порядков, то ряд

 

 

называют рядом Тейлора функции в точке . Если этот ряд сходится в некоторой окрестности точки к функции , то говорят, что в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора. В частном случае при этот ряд называют рядом Маклорена.

 

Пример 9.1. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Решение. Используем формулу Тейлора для функции двух переменных:

 

Найдем функцию и частные производные последовательно первого, второго, третьего, порядков в точке :

 

;

;

;

.

 

Далее все частные производные равны нулю. Подставим найденные производные в формулу Тейлора, принимая :

 

.

Таким образом, функция разложена по формуле Тейлора без остатка:

 

.

 

 

9.1. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки .

9.2. Найти приращение, получаемое функцией при переходе от значений к значениям , .

9.3. В разложении функции в окрестности точки выписать члены до второго порядка включительно.

9.4. Упростить выражение

 

,

 

считая малыми по модулю.

Разложить в ряд Маклорена следующие функции:

9.5. .

9.6. .

9.7. Написать разложение в ряд Тейлора функции в окрестности точки .

9.8. Пусть – та неявная функция от и , определяемая уравнением , которая при принимает значение . Написать несколько членов разложения функции по возрастающим степеням биномов .

 

 

Ответы:

9.1. .

9.2. .

9.3. ,

где 9.4. .

9.5. .

9.6. , .

9.7. .

9.8.