Замена переменных
Рассмотрим несколько способов дифференциальных замен.
1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные. Пусть в дифференциальном выражении
требуется перейти к новым переменным: независимой переменной 
и функции 
, связанным с прежними переменными 
и 
уравнениями
.
Дифференцируя эти уравнения, имеем:
Аналогично выражаются производные высших порядков 
В результате получаем
.
2. Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные производные. Если в дифференциальном выражении
положить 
, где и 
– новые независимые переменные, то последовательные частные производные 
определяются из следующих уравнений:
Последовательно дифференцируя эти уравнения, получают производные высших порядков.
3. Замена независимых переменных и функции в выражении, содержащем частные производные. В общем случае, если имеем уравнения
,
где и – новые независимые переменные, 
– новая функция, то для частных производных получаем такие уравнения:
Производные высших порядков получают последовательным дифференцированием этих уравнений.
Пример 7.1. Найти якобиан 
отображения
.
Решение. Так как
,
то
.
Пример 7.2. Преобразовать выражение 
к новым переменным, если 
.
Решение. Найдем частные производные 
и 
, используя частные производные функции 
по переменным и . Продифференцируем обе части равенства 
по переменным и :
;
Следовательно,
.
Выразим и 
через новые переменные. Так как 
. Тогда исходное уравнение примет вид
.
7.1. Преобразовать уравнение 
, приняв за функцию и 
– за независимое переменное.
Введя новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
7.2. 
, если 
.
7.3. 
, если 
.
7.4. 
, если 
, где 
.
7.5. 
, если 
и 
, где 
.
7.6. Преобразовать к полярным координатам 
и 
, полагая 
, 
, следующее уравнение: 
.
7.7. Преобразовать к полярным координатам выражение 
.
7.8. Преобразовать выражение 
, введя новые функции 
, 
.
7.9. Введя новые независимые переменные 
и 
, решить следующее уравнение: 
, если 
и 
.
7.10. Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: 
, если 
и 
.
7.11. Преобразовать выражение 
, приняв за новые независимые переменные 
, 
.
7.12. Преобразовать выражение 
, приняв x за функцию, а 
, 
– за независимые переменные.
Перейти к новым переменным u, v, w, где , в следующих уравнениях:
7.13. 
, если 
, 
, 
.
7.14. 
, если 
, 
, 
.
Преобразовать к полярным координатам r и , полагая , , следующие выражения:
7.15.  .
| 7.16.  .
|
7.17. 
.
Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:
7.18. 
, если 
и 
.
7.19. 
, если 
и 
.
7.20. Показать, что уравнение 
не меняет своего вида при замене переменных 
и 
.
Приняв u и v за новые независимые переменные и за новую функцию, преобразовать следующие уравнения:
7.21. 
, если 
, 
, 
.
7.22. 
, если 
, 
, 
.
7.23. Найти в точке 
дифференциал отображения 
.
7.24.Найти в точке (0;0) производную отображения и исследовать его на дифференцируемость в этой точке:
1)  ;
| |
2)  .
|
7.25.Найти якобиан отображения:
1)  ;
| 2)  .
|
Ответы: 7.1. 
.7.2. 
.7.3. 
.7.4. 
.7.5. 
.7.6. 
.7.7. 
.7.8. 
.7.9. 
.7.10. 
.7.11. 
.7.12. 
.7.13. 
.7.14. 
.7.15. 
.
7.16. 
.7.17. 
.7.18. 
.
7.19. 
.7.21. 
.7.22. 
.
7.23. 
.7.24.1)
, дифференцируемо; 2) 
, недифференцируемо.7.25.1) 
; 2) 
.
§ 8. Геометрические приложения
Уравнение касательной плоскости к поверхности 
в точке 
:
Уравнение нормали к поверхности в точке :
Нормаль – это прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке .
Если функция задана неявно 
, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке запишется следующим образом:
.
Уравнение нормали
.
Это уравнение прямой в каноническом виде, известном из курса аналитической геометрии.
Пример 8.1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
: 
в точке 
.
Решение. Запишем уравнение поверхности в неявном виде:
.
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :
.
Найдем частные производные в точке :
.
Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности в точке 
, или 
.
Уравнение нормали к поверхности :
,
.
Написать уравнения касательных прямых и нормальных плоскостей в данных точках к следующим кривым:
8.1.  ,  ,  , в точке  .
| |
8.2.  ,  , в точке  .
| |
8.3.  ,  , в точке  .
|
8.4. Доказать, что касательная к винтовой линии 
, 
, 
образует постоянный угол с осью 
.
8.5. Доказать, что кривая 
, 
, 
пересекает все образующие конуса 
под одним и тем же углом.
8.6. Найти производную функции 
в точке 
в направлении касательной в этой точке к кривой 
, 
.
Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к следующим поверхностям:
8.7.  ,  .
| 8.8.  ,  .
| |
8.9.  ,  .
| ||
8.10. , ,  ,  .
| ||
8.11. На поверхности 
найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
8.12. Найти огибающую кривую однопараметрического семейства плоских кривых: 
.
8.13. Найти огибающую кривую эллипсов 
, имеющих постоянную площадь S.
8.14. Найти огибающую кривую семейства шаров
,
где 
и t – переменный параметр.
Ответы: 8.1. 
.8.2. 
;
. 8.3. 
. 8.6. 
.
8.7. 
.8.8. 
. 8.9. 
.
8.10. 
. 8.11. 
.8.12. 
.
8.13. 
.8.14. 
.