Дифференцирование неявных функций

Теорема существования. Если:

1) функция обращается в нуль в некоторой точке ;

2) и определены и непрерывны в окрестности точки ;

3) ,

то в некоторой достаточно малой окрестности точки существует единственная однозначная непрерывная функция

удовлетворяющая уравнению

и такая, что .

Частные производные функций, заданных неявно. Если выполнены все условия приведенной выше теоремы и, кроме того, функция дифференцируема в окрестности точки , то функция дифференцируема в окрестности точки и ее производные и могут быть найдены из уравнений

Если функция дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием этих уравнений вычисляются производные высших порядков от функции .

Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений. Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:

1) обращаются в нуль в точке ;

2) дифференцируемы в окрестности точки ;

3) функциональный определитель (якобиан) в точке .

Тогда система уравнений

однозначно определяет в некоторой окрестности точки систему дифференцируемых функций

, ,

удовлетворяющих системе уравнений и начальным условиям

, .

Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы

Пример 6.1. Найти в точке (1;1) частные производные функции , заданной неявно уравнением

Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке:

. Функция равна нулю в точке (1;1;2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные

также непрерывны, .

Поэтому функция является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (1;1;2) и ее частные производные можно найти по формулам:

Тогда

а значение в точке (1;1;2):

Пример 6.2. Найти производные первого и второго порядков неявных функций в точке , если эти функции заданы системой уравнений

(1)

и удовлетворяют условиям .

Решение. Функции

дифференцируемы в окрестности точки . Частные производные

непрерывны в точке . Так как и , а якобиан в точке отличен от нуля, т. е.

то система уравнений (1) определяет единственную пару функций , дважды дифференцируемых в окрестности точки .

Продифференцируем систему (1) по переменной :

(2)

Подставив координаты точки в эту систему, получим

Тогда . Еще раз продифференцируем по систему (2):

В точке имеем

Тогда .

6.1. Уравнение определяет как многозначную функцию от . В каких областях эта функция: 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные ветви.