Затухающие колебания

Любое реальное колебание происходит в какой-либо среде, которая оказывает сопротивление движению. На преодоление сопротивления среды расходуется часть энергии колеблющегося тела. Происходит рассеяние энергии и уменьшение амплитуды колебаний.

Колебания, амплитуда которых медленно уменьшается с течением времени, называются затухающими.

При достаточно малых скоростях сила сопротивления оказывается пропорциональной скорости:

(1.80)

где r – коэффициент сопротивления, характеризующий взаимодействие тела со средой (r>0). Знак «-» показывает, что сила сопротивления направлена противоположно скорости.

II закон Ньютона при наличии сил сопротивления примет вид:

(1.81)

Введем обозначения: , где - частота собственных колебаний ГО; , где - коэффициент затухания. Тогда (1.81) перепишется в виде:

(1.82)

Выражение (1.82) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний ГО.

Решением (1.82) является функция

(1.83)

Циклическая частота затухающих колебаний

(1.84)

период затухающих колебаний

(1.85)

Из (1.83) видно, что затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по закону:

(1.86)

Выясним физический смысл коэффициента затухания .

Пусть - время релаксации, т.е. промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшилась в e раз.

Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени t и (t+t):

(1.87)

по определению t имеем , откуда

и (1.88)

Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Найдем теперь отношение двух амплитуд A_t и A₍_t₊_T₎, отстоящих друг от друга на период:

(1.89)

Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называется логарифмическим декрементом затухания:

(1.90)

С учетом (1.89)

(1.91)

Обозначим через N_е число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается вe раз. Тогда и , т.е. логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в eраз.

Для характеристики колебательной системы, кроме логарифмического декремента затухания, используется также величина

(1.92)

называемая добротностью контура.

Заметим, что все приведенные здесь вывода верны при . Если затухание велико , то возникающее движение не является колебательным и носит апериодический характер.