Примеры
№1. Исследовать функцию на монотонность и экстремум 
.
Решение.
1) D(f)=R
2) 
3) 
при 
, 
, 
.
–1, 
, 1 – критические точки, так как внутренние точки области определения и .
4) Выясним знаки производной:
Функция y=f(x) возрастает на промежутках (–∞; 1/5]; [1;+∞).
Функция y=f(x) убывает на промежутке [1/5; 1].
– точка максимума, f( ) – максимум функции.
1 – точка минимума, f(1) – минимум функции (рис. 3.6.1).
 |
№2. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба: 
.
Решение.
1) D(f)=R
2) 
.
3) 
.
при 
.
Функция y=f(x) выпуклая на промежутке (–∞; 2].
Функция y=f(x) вогнутая на промежутке [2; +∞).
(2;–1) – точка перегиба.
№3. Найти вертикальные асимптоты линии:
а) y=tgx;
б) 
.
Решение.
а) Так как данная функция имеет разрыв в точках x= 
, то 
, 
.
Следовательно, 
, 
– вертикальные асимптоты.
б) Функция 
имеет бесконечный предел при х®2 и х®-2.
 |
Значит, прямые х=2 и х= -2 (АВ и А′В′ на рис. 3.6.2) – асимптоты. Прямая АВ служит асимптотой для двух ветвей, UV и KL. Вдоль первой бесконечное удаление направлено вверх, вдоль второй – вниз (ибо 
и 
. Аналогично для прямой А′В′.
Заметим, что прямая х=0 служит горизонтальной асимптотой (для ветвей UV и U′V′).
№4.Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение.
1. Находим область определения функции: (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; ¥).
2. Точки пересечения с осью ОХ: у=0, тогда
,
х=0, => (0; 0) – точка пересечения с осью ОХ.
Точки пересечения с осью ОУ: х=0, тогда
,
у=0, => (0; 0) – точка пересечения с осью ОУ.
3. Область определения симметрична относительно нуля
Таким образом, функция является нечетной.
4. Так как точки х = 1, х = –1 являются точками разрыва, то вычислим следующие пределы:
Значит х = 1, х = –1 – вертикальные асимптоты.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
5. Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = – 
; x = ; x = –1; x = 1.
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
x < – 
, y¢ > 0, функция возрастает
– < x < –1, y¢ < 0, функция убывает
–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ < 0, функция убывает
< x, y¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно: – 
и .
6. Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
x < –1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
–1, 0, 1 – точки перегиба.
7. Построим график функции:
.
8. Область значения E(y)=R.
Варианты заданий
№3.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
на 
;
5. 
.
№3.7.2. Исследовать на экстремум следующие функции:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
№3.3. Исследовать на выпуклость и вогнутость следующие функции:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
№3.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1. 
на отрезке 
;
2. 
на отрезке 
;
3. 
на отрезке 
.
№3.5.Исследовать функции и построить их графики:
1. y=3x5–5x3+2;
2. y= 
;
3. y= 
;
4. y= 
;
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. у = tg(x) – sin(x)
14. y = ctg(x) + cos(x)
Контрольные вопросы
1. Назовите основные пункты исследования графика функции.
2. Что называется областью определения функции?
3. Что называется областью значения функции?
4. Что является промежутками возрастания функции?
5. Что является промежутками убывания функции
6. Когда график функции имеет выпуклость?
7. Когда график функции имеет вогнутость?
8. Что называется асимптотами?
9. Какие бывают асимптоты?
10. Как найти асимптоты?