Дифференциалы высших порядков

 

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда в каждой точке этого интервала определен дифференциал dу=f ^/ (x)dx функции f(x), называемый также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции y=f(x) в точке хÎ(a; b) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке.

Дифференциал второго порядка обозначается d²f(х) илиd²y(читается: «дэ два игрек»). Таким образом, d²y=d(dy). Учитывая, что dу=f ^/ (x)dx,гдеdx – не зависящая от хконстанта получим

d²y=f^//(x)dx².

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков: d³y=d(d²y), d⁴y=d(d³y), … В общем случае, дифференциалом п-ного порядка от функции f(x) в точке x называется дифференциал от дифференциала (п–1)-го порядка функции f(x) в этой точке:

dⁿy=d(d^n–1y), где dⁿy=f⁽ⁿ⁾dxⁿ.

Отсюда следует, что .

Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности не имеет места.