Пример решения задач

Задача № 1.В корзине лежат 6 красных и 6 зеленых яблок. Для гостей случайным образом выбирают 5 яблок и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

Решение.Из 12 яблок любые 5 можно выбрать числом способов . Это число равно: .

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Если Х=0, то следует выбирать 5 зеленых яблок из 6 возможных – это можно сделать числом способов .

Если Х=1, то следует выбирать 4 зеленых яблока из 6 возможных и 1 красное из 6 возможных– это можно сделать числом способов .

Если Х=2, то следует выбирать 3 зеленых яблока из 6 возможных и 2 красных из 6 возможных– это можно сделать числом способов .

Если Х=3, то следует выбирать 2 зеленых яблока из 6 возможных и 3 красных из 6 возможных– это можно сделать числом способов .

Если Х=4, то следует выбирать 1 зеленое яблоко из 6 возможных и 4 красных из 6 возможных– это можно сделать числом способов .

Если Х=5, то .

Вероятности p( X=k), k = 0,1,2,3,4,5 равны отношениям m_k/n :

X
p

Функция распределения F(x)=P(X<x) равна

Ø 0, если x £ 0;

Ø 1/132, если 0 < x £ 1 (А);

Ø 16/132, если 1 < x £ 2 (Б);

Ø 66/132, если 2 < x £ 3 (В);

Ø 116/132, если 3 < x £ 4(Г);

Ø 131/132, если 4 < x £ 5 (Д);

Ø 1, если x > 5.

График этой функции выглядит следующим образом:

Задача № 2. Плотность вероятности случайной величины X задана соотношением .

Найти a, F(x) – функцию распределения случайной величины X, построить графики функций f(x) и F(x), вычислить EX и DX.

Решение.Постоянную a находим из условия нормировки плотности: , откуда а = 3000. Функция распределения F(x)=0 при x £ 10, при x > 10; , , .

Задача № 3.Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=6X+4. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

Решение.Так как EX =1, DX =2, то EY =10, DY=36*2=72, . При линейном отображении распределение остается нормальным, поэтому . Вычисление значений функции распределения G(y) рекомендуется выполнить в EXСEL с применением статистической функции НОРМРАСП: .

Задача № 4. Плотность вероятности случайной величины X задана соотношением

Случайная величина связана с X функциональной зависимостью Y= X². Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, G(y) – функцию распределения случайной величины Y, EY, DY, .

Решение.Случайная величина Y принимает ненулевые значения в промежутке (1,4), при этом плотность g(y)=f(y(y))y¢(y), где y — функция, обратная к заданной функции y=x²: y(y)=Öy. Поэтому и случайная величина Y распределена равномерно в промежутке (1,4). Функция распределения в указанном промежутке равна G(y)=(y-1)/3, равна нулю при y £ 1, равна 1 при y > 4.

Задача № 5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-2;6) и YÎN(-4;2) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-16;-10). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=X—3Y—2Z+15.

Решение.

Варианты контрольных заданий.

Вариант

1. В корзине лежат 2 красных и 3 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 2 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

2. Плотность вероятности случайной величины X задана соотношением . Найти a, F(x) – функцию распределения случайной величины X, построить графики функций f(x) и F(x), вычислить EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=2X–1. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

4. Плотность вероятности случайной величины X задана соотношением . Случайная величина связана с X функциональной зависимостью Y= X². Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, G(y) – функцию распределения случайной величины Y, EY, DY, .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-1;2) и YÎN(0;3) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (2;4). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=2X-3Y+Z-4.

Вариант

1. В корзине лежат 2 красных и 4 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 3 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=3X–1. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(0;2) и YÎN(-1;3) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (2;6). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V= -2X+3Y+Z-5.

Вариант

1. В корзине лежат 3 красных и 2 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 2 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=3X+2. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-2;1) и YÎN(-3;2) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-2;0). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=2X-3Y-Z+4.

Вариант

1. В корзине лежат 3 красных и 2 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 3 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=-X–1. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-2;2) и YÎN(-1;3) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (0;2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=—2X-3Y+Z+5.

Вариант

1. В корзине лежат 3 красных и 4 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 2 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=2X–3. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-3;2) и YÎN(0;3) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-1;3). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
V= -X+2Y-Z+6.

Вариант

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=2X–4. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-2;3) и YÎN(-2;6) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-1;5). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=X-2Y-Z+6.

Вариант

1. В корзине лежат 3 красных и 4 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 4 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=–2X+3. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-1;4) и YÎN(-2;4) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-2;4). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=X--2Y+Z+6.

Вариант

1. В корзине лежат 3 красных и 4 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 5 яблок и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=–5X+6. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-4;1) и YÎN(2;2) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-3;1). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
V= -X-2Y+Z+6.

Вариант

1. В корзине лежат 5 красных и 3 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 2 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=7X–5. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XÎN(-2;3) и YÎN(-1;2) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (-5;-1). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=2X+5Y-Z-8.

Вариант

1. В корзине лежат 4 красных и 3 зеленых яблок. Для гостей случайным образом выбирают 3 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

3. Случайная величина X Î N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y=4X–2. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .