Задачи.

Задача 10.1. Банк принимает вклады в долларах США по ставке 17% годовых и рублевые вклады по ставке 22% годовых. Определите, что выгоднее:

а) перевести 100000 рублей в доллары, заплатив 10% комиссионных, а затем поместить их на долларовый счет сроком на 5 лет, и вновь конвертировать в рубли (без выплаты комиссионных);

б) разместить всю сумму на 5 лет на рублевом вкладе. Курс обмена доллара к рублю считать равным 30 рублей за доллар на начальный момент, и 35 рублей за доллар через 5 лет.

Решение.Разберем сначала случай с переводом рублей в доллары. 100000 рублей по курсу 30 рублей за доллар конвертируются в доллара США. Заплатив 10% комиссионных, на долларовый вклад мы положим $. Наращенная сумма вклада за 5 лет по ставке 17% годовых будет равна

Конвертируя эту сумму в рубли по курсу 35 рублей за доллар, получим

рублей.

При размещении средств на рублевом вкладе на 5 лет под 22% годовых получим наращенную сумму вклада

рублей.

Как мы видим, размещение первоначальной суммы на рублевом вкладе выгоднее, чем на долларовом.

Задача 10.2. Определите, какая схема платежей выгоднее:

а) заплатить 3000$ сразу и затем ежегодно в течение лет платить по 500$;

б) заплатить 4000$ сразу и затем ежегодно в течение 34 лет платить по 350$.

Годовая процентная ставка равна 10%.

Решение.Рассмотрим случай а). Современная величина потока платежей в этом случае равна

В случае б) современная величина потока платежей равна

Для плательщика выгоднее первая схема платежей.

Задача 10.3. Определите размер ежемесячных выплат из банковского фонда в рублей с тем, чтобы в течение 10 лет полностью исчерпать фонд. Годовая процентная ставка равна 16%, проценты начисляются ежемесячно.

Решение.Ежемесячные выплаты из банковского фонда представляют собой ренту с неизвестным платежом , количеством выплат 120, и ежемесячной процентной ставкой . Современная величина этой ренты равна рублям. Следовательно, имеем соотношение:

откуда рублей.

Задача 10.4. Заем 7000$ взят на 40 лет под 10% годовых. Погашаться будет равными ежегодными выплатами. Определите размеры этих выплат.

Решение.Речь идет о ренте, современная величина которой равна 7000$. Имеем

откуда $.

Задача 10.5. Размер инвестиций в проект составил 1.700.000 рублей. Доходы от проекта в течение последующих 5 лет составили 1.020.000, 500.000, 280.000, 400.000и 350.000 рублей соответственно. Годовая процента ставка равна 10%. Определите приведенный чистый доход, срок окупаемости проекта, его доходность, норму доходности, внутреннюю норму доходности.

Решение. Рассмотрим, каково состояние банковского счета предприятия по годам. На начальный момент имеется долг в размере 1.700.000 рублей, что можно рассматривать как отрицательный банковский вклад. На начало второго года долг увеличился в 1.1 раза и составил -1.870.000 рублей. С учетом поступления от проекта в размере 1.020.000 рублей банковский счет все еще отрицательный и равен -850.000 рублей. На начало третьего года долг возрос в 1.1 раза и составил -935000 рублей. С учетом поступления от инвестиционного проекта в размере 500.000 рублей мы имеем, по—прежнему, отрицательный баланс в сумме -435.000 рублей. На начало четвертого года долг составил -478.500 рублей, и в сумме с поступлением в размере 280.000 рублей баланс составил -198.500 рублей. На начало пятого года долг составил рублей, и в сумме с поступлением в размере 400.000 рублей баланс впервые стал положительным и составил 181.650 рублей. Следовательно, срок окупаемости проекта равен 4 годам. На конец пятого года сумма на счете возросла до 199.815 рублей и, в сумме с поступлением в размере 350.000 рублей, баланс составил 549.815 рублей. Таким образом, мы вернули долг и получили прибыль в размере 549.815 рублей. Наращенный чистый доход проекта составил

Приведенный чистый доход проекта NPV есть современная величина наращенного чистого дохода NFV, и при годовой ставке 10% составляет

рубля.

Доходность (рентабельность) проекта есть отношение приведенного чистого дохода к вложенным средствам, то есть

, или 20%.

Чтобы посчитать норму доходности, следует определить размер годовой банковской ставки, которая при вложении средств в размере инвестиций через 5 лет позволит получить наращенную сумму инвестиций (по годовой ставке в 10%) плюс наращенный чистый доход, то есть

Таким образом, норма доходности проекта равна 14%.

Наиболее трудной задачей является определение внутренней нормы доходности проекта. По определению, это есть размер банковской процентной ставки, при которой современная величина суммы всех поступлений от проекта оказывается равной размеру инвестиций в проект. Таким образом, нам надо решить уравнение

Это уравнение является алгебраическим уравнением пятой степени, и его решение может быть найдено подбором, с помощью таблиц дисконтирующих множителей. Так, при выражение в правой части уравнения пока еще больше 1.700.000, а при уже строго меньше 1.700.000. Следовательно, можно приближенно считать, что . Мы видим, что внутренняя норма доходности проекта достаточно велика, и, следовательно, проект является достаточно устойчивым относительно возможного изменения банковской процентной ставки.

Задача 10.6. Банк учел вексель за 7 месяцев до его погашения по учетной ставке в 10% годовых. При этом с владельца векселя было удержано 10% комиссионных. Какова доходность операции для банка? Найдите годовую процентную ставку, эквивалентную данной операции.

Решение.Пусть номинал векселя равен рублей. При 10-процентной учетной ставке за год до погашения векселя владельцу векселя было удержано рублей и выдано на руки рублей. Однако, поскольку до погашения векселя осталось только года, то и удерживается не вся годовая процентная ставка, а только от нее, то есть . Кроме того, удерживается 10% комиссионных, то есть на руки выдается

Таким образом, вложив в вексель рублей, через 7 месяцев банк получит по векселю рублей. Абсолютная доходность операции для банка (без учета дисконтирования) равна

Найдем эквивалентную банковскую процентную ставку для данной операции. Имеем:

Задача 10.7. Имеются следующие данные о доходности x_f акций некоторой фирмы и средние величины доходности ценных бумаг (в копейках на рубль вложений) на фондовой бирже за последние 10 месяцев:

месяц
x_f

месяц
x_f

Доходность безрисковой бумаги равна 15. Найдите уравнения и постройте линию рынка и линию капитала. Вычислите b и a коэффициенты акции фирмы и определите, к какой категории (с высоким или низким риском) относятся акции рассматриваемой фирмы, а также определите, завышена или занижена цена на эти акции.

Решение.Определим математическое ожидание и среднее квадратичное уклонение доходности для самой бумаги и для усредненной доходности по рынку. Для x_f имеем:

Для имеем:

Средние квадратичные уклонения равны соответственно:

Теперь мы можем вычислить линию рынка

Поскольку теоретическое значение доходности при равно 23.99, а для данной бумаги оно равно 18.6, то можно сделать вывод, что на рынке бумаги с тем же риском имеют бóльшую доходность, чем x_f.

Найдем -коэффициент для x_f. Имеем:

Смешанное произведение в числителе равно

откуда

Поскольку , бумага является активной. Выпишем линию рынка и найдем коэффициент бумаги. Имеем:

При теоретическое значение доходности равно . Поскольку коэффициент бумаги является разностью между действительной доходностью 18.6 и доходностью 19.185, рассчитанной в соответствие с линией капитала, то , то есть цена на акции фирмы является завышенной.