ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ, ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

 

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью две общие точки. На рис. 217 проекции прямой АЕ проходят через проекции а' и а — проекции вершины А тре­угольника АВС и проекции е и е' — проекции точки пересечения прямой АЕ со стороной ВС треугольника ABC. Прямая АЕ имеет с тре­угольником ABC две общие точки: А и Е, сле­довательно, прямая АЕ принадлежит плоскос­ти, которая задана треугольником ABC.

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую пло­скости, и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. Проекции прямой DF (d'f, df) (рис. 217) параллельны проекциям стороны АВ треугольника ABC (f'd' || a'b' и fd || ab) и проходят через одноименные проекции точки С (с и с'), принадлежащей треугольнику ABC. Следовательно, прямая FD принадлежит пло­скости, которая задана треугольником ABC, так как она проходит через точку, принадле­жащую треугольнику, и параллельна одной из его сторон.

Точка принадлежит плоскости, если она при­надлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Точка М (рис. 218) принадлежит плоскости, которая задана треугольником ABC, так как ее проекции т и т' лежат па одноименных проекциях отрезка АВ (ab и а'Ь), который является стороной треугольника ABC. Точка N также принадлежит плоскости треугольника ABC, так как фронтальная проекция п' точки N ­лежит на продолжении фронтальной проекции прямой АЕ (а'е'), а горизонтальная проекция п точки N лежит на продолжении горизонтальной проекции прямой АЕ (ае), и обе проекции ле­жат на одной линии связи.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскос­ти. Если плоскость задана треугольником ABC, то, чтобы провести через точку D прямую DE параллельно данной плоскости (рис. 219), нужно провести ее проекции параллельно одно­именным проекциям одной из сторон треуголь­ника ABC. На рис. 219 de||bc и d'e'||b'c

Следовательно, DE||BC. На рис. 220 по­строены проекции прямой NM и плоскости, заданной треугольником ABC. Необходимо проверить, параллельна ли прямая MN пло­скости треугольника ABC. Попробуем постро­ить через вершину А треугольника ABC пря­мую АЕ, параллельную MN.

Для этого прово­дят горизонтальную проекцию ае прямой АЕ параллельно тп и строят фронтальную проек­цию а'е'. Если прямая ИМ параллельна пло­скости треугольника ABC, то построенная фронтальная проекция а׳e' должна быть па­раллельна т'п'. Так как а'е' на рис. 220 не параллельна т'п׳ прямая MN не параллельна плоскости треугольника ABC.

С помощью рассмотренных выше положений решается ряд задач на построение. Рассмот­рим некоторые из них.

 

 

 

Задача 1. В плоскости треугольника DSC провести прямую EF. Чтобы прямая BF при­надлежала плоскости треугольника АВС, до­статочно, чтобы две ее точки лежали в пло­скости треугольника. Проводят произвольно фронтальную проекцию е'f' прямой EF (рис. 221) так, чтобы она пересекало фронтальные проекции двух сторон треугольника ABC в точках е' и f'. Горизонтальные проекции е и f точек Е и F строят с помощью линий проек­ционной связи. Из точек е' и f' проводят линии проекционной связи до пересечения с соответ­ствующими горизонтальными проекциями сто­рон треугольника ABC.

Если в плоскости треугольника ABC нужно провести горизонталь, то фронтальную проек­цию горизонтали проводят параллельно оси Ох (рис. 222).

Задача 2.Задана фронтальная проекция k' точки К, лежащей в плоскости треугольника DSC, требуется построить ее горизонтальную проекцию. Для этого проводят фронтальную проекцию горизонтали e'k' через заданную фронтальную проекцию k' точки К и строят горизонтальную проекцию горизонтали, опус­тив из точки е' линию связи до пересечения со стороной sd и проведя из точки е прямую параллельно стороне dc, так как dc является горизонтальным следом плоскости треугольни­ка DSC. Опустив из точки k' линию связи до пересечения с прямой, параллельной dc, полу­чают горизонтальную проекцию k точки К. Точка будет лежать в плоскости, так как она лежит на горизонтали этой плоскости (рис. 223, а).

На рис. 223, б показано построение фрон­тальной проекции k' точки Л', принадлежащей плоскости параллелограмма ΔBCD, по задан­ной горизонтальной проекции k. Сторона dc

является горизонтальным следом плоскости. Известно, что все горизонтали плоскости па­раллельны горизонтальному следу этой пло­скости. Поэтому горизонтальная проекция ck горизонтали проведена через точку k парал­лельно dc. Фронтальная проекция W точки К находится на фронтальной проекции горизон­тали, параллельной оси Ох.

На рис. 223, в показано построение горизон­тальной проекции k точки К с помощью вспо­могательной прямой, проходящей через вер­шину треугольника DSC — точку С. Через заданную фронтальную проекцию k' точки К и точку с' проводят фронтальную проекцию вспомогательной прямой, которая пересечет сторону d's' фронтальной проекции треуголь­ника DSC в точке е''. Из точки е' проводят линию проекционной связи, находят горизон­тальную проекцию е точки Е, проводят гори­зонтальную проекцию се вспомогательной пря­мой СЕ и на ней, опустив из точки W линию связи, находят горизонтальную проекцию k точки К. Фронтальную проекцию вспомога­тельной "прямой можно было провести через любую фронтальную проекцию вершины тре­угольника ABC.