ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

При построении линии взаимного пересече­ния многогранника с телом вращения обра­зуется замкнутая пространственная линия, которая может состоять из прямых и различ­ных кривых линий (рис. 305 и 306). Если бо­ковая поверхность одного из пересекающихся тел полностью проходит через поверхность второго тела, то получатся две замкнутые линии пересечения (рис. 306). Если боковая поверхность одного из пересекающихся тел частично проходит через поверхность второго тела, то получится одна замкнутая линия пересечения (рис. 305).

При построении линии взаимного пересе­чения сначала строят характерные точки: точ­ки, в которых ребра многогранника (как пря­мые) пересекаются с поверхностью тела вра­щения, и точки, в которых крайние образую­щие тела вращения пересекаются с поверх­ностью многогранника. Затем (при необходи­мости) строят промежуточные точки линии взаимного пересечения.

Построение линии взаимного пе­ресечения поверхности прямого кругового цилиндра с поверхнос­тью прямой призмы. На рис. 305 по­казано самое простое пересечение этих тел, так как их боковые поверхности в данном случае проецирующие.

Так же как и при решении задач на взаим­ное пересечение поверхностей двух многогран­ников, в этой задаче сначала определяют проекцию, на которой нужно строить линию взаимного пересечения.

Поскольку линия взаимного пересечения принадлежит одновременно поверхностям двух тели поверхность одного из геометрических телпроецируется на одну из плоскостей про­екций в линию, совпадающую с проекцией основания, то линия пересечения на этой про­екции совпадет с проекцией боковой поверх­ности данного тела. На рис. 305 боковая по­верхность четырехугольной призмы является проецирующей по отношению к плоскости W и совпадает с проекцией основания (четырех­угольником). Поэтому линия пересечения, ле­жащая на гранях боковой поверхности приз­мы, совпадет с проекцией боковой поверхно­сти призмы, т. е. со сторонами четырехуголь­ника.

Боковая поверхность цилиндра является проецирующей относительно плоскости проекций Н и проецируется в окружность, совпадающую с проекцией контура осно­вания. Так как линия пересечения принад­лежит боковой поверхности цилиндра, ее горизонтальная проекция совпадет с проек­цией окружности основания. На фронтальной плоскости проекций, где боковые грани призмы и боковая поверхность цилиндра проецируются в прямоугольники, линия взаимного пересе­чения будет замкнутой линией, состоящей из отдельных участков эллипсов и отрезков пря­мых линий. Боковые грани призмы, пересе­кающие ось цилиндра, пересекут его по эллип­сам, а грань, параллельная оси,— по образую­щим.

Для построения фронтальной проекции ли­нии пересечения сначала строят точки, в кото­рых ребра четырехугольной призмы пересека­ются с боковой поверхностью цилиндра. Эти точки пересечения хорошо видны на горизон­тальной проекции. Верхние и нижние ребра призмы пересекаются здесь с поверхностью цилиндра в точках 1, 2, 13 и 14. С помощью линий проекционной связи точки 1 и 2 строят на фронтальной проекции нижнего ребра (1' и 2'), а точки 13 и 14 — на фронтальной проек­ции верхнего ребра (13' и 14'). Два других ребра призмы в пересечении не участвуют.

 

Для построения точки пересечения край­ней образующей цилиндра с боковой поверх­ностью призмы используют профильную про­екцию. Здесь проекция правой крайней обра­зующей пересекла проекцию верхней грани призмы в точке 8", а нижней — в точке 7". Фронтальная проекция этой образующей сов­падает с проекцией оси цилиндра. С помощью линий проекционной связи строят точки 7' и 8' на фронтальной проекции.

С осью цилиндра на профильной проекции совпадают две крайние образующие фронталь­ной проекции, сливаясь в одну линию, кото­рая пересекает проекцию боковой поверхности призмы в точках 11", 12", 3" и 4". С помощью линий проекционной связи на фронтальной проекции строят точки 3' и 11' на левой край­ней образующей, а точки 4', 12' на правой крайней образующей. Задняя грань призмы является горизонтально-проецирующей плос­костью, с которой цилиндр пересекается по двум отрезкам 1 13 и 2 14. Между точками 11', 8'; 8', 12'; 3', 7׳ и 7', 4' большой интервал. Необходимо построить дополнительные точки. Для этого на боковой поверхности цилиндра через произвольно взятые на верхнем осно­вании точки Е и F проводят две образующие. На профильной проекции они совпадают, и точ­ки пересечения этих образующих с поверхно­стью призмы попарно сливаются (5" и 6";9" и 10"). С помощью линий проекционной связи эти образующие строят на горизонтальной проек­ции, где они проецируются в точки. Затем стро­ят их фронтальные проекции, и на них с по­мощью линий проекционной связи, проведенных с профильной проекции, строят проекции точек 5', 6', 9', 10'. Построенные точки соединяют. Отрезки 1 13 и 2 14 будут невидимыми, так как на фронтальной проекции они лежат на неви­димой части цилиндра и невидимой грани призмы. В пересечении нижней и верхней гра­ней призмы с боковой поверхностью цилиндра получатся части эллипсов, поэтому точки 13', 11', 9', 8', 10', 12' и 14' в верхней части гео­метрических тел и точки 1', 3', 5', 7', 6', 4' и 12' в нижней части соединяют плавной кривой линией. Точки 11', 12', 3' и 4' лежат на крайних образующих и являются границей видимости. Кривые линии, проходящие в верхней части че­рез точки 11', 9', 8', 10' и 12', а в нижней части через точки 3', 5', 7', 6', 4', будут видимы­ми. Линии 11'13', 12', 14', 3'1' и 2'4' будут неви­димыми, так как лежат на невидимой части цилиндра.

Построение линии взаимного пересечения в изометрии.Точки 13, 14, 1 и 2 лежат не только на цилиндре, но и на ребрах призмы. Так как на ребрах, как на отрезках, строить точки проще, чем на поверхности цилиндра, то, изме­рив расстояние на фронтальной проекции от ле­вого и правого отрезка, в которые проециру­ются основания призмы, до точек 13', 14', 1׳ и 2', отмечают их на верхнем и нижнем ребре призмы в изометрии. Остальные точки строят с помощью образующих, расположенных на по­верхности цилиндра. Расстояние от нижнего основания цилиндра до соответствующих то­чек измеряют на фронтальной проекции и соот­ветственно переносят в прямоугольную изометрию. Часть линии пересечения, располо­женная на верхней грани призмы, будет види­мой, а остальная часть невидимой.

Построение линии взаимного пересечения по­верхности прямого кругового цилиндра с по­верхностью пирамиды.Сначала определяют, на каких проекциях нужно строить линию взаим­ного пересечения. Затем отмечают и строят характерные точки. Дополнительные точки строят с помощью вспомогательных горизон­тальных плоскостей.

На рис. 306 боковая поверхность прямого кругового цилиндра на профильной плоскости проекций проецируется в окружность, совпа­дающую с проекцией контура основания, так как его поверхность проецирующая. Следова­тельно, линия взаимного пересечения, принад­лежащая и боковой поверхности цилиндра, проецируется в ту же окружность. Боковые поверхности пирамиды и цилиндра не являются относительно фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций проецирующими, значит, линии пересечения изобразятся здесь в виде кривых линий, которые нужно строить.

По­скольку боковая поверхность цилиндра пол­ностью проходит через боковую поверхность пирамиды, то получатся две линии взаимного пересечения.

На фронтальной проекции можно сразу от­метить точки 1', 3', 2' и 4', в которых проекции s'b' и s'e' ребер пирамиды SB и SE пересе­каются с проекциями верхней и нижней обра­зующих цилиндра. Проекции точек 1, 2, 3, 4 строят на плоскости Н с помощью линий проек­ционной связи. Все остальные точки находят с помощью вспомогательных горизонтальных се­кущих плоскостей: Р, N и R, профильные следы которых обозначены на профильной проекции. Для этого строят горизонтальные проекции ли­ний пересечения пирамиды с этими плоскостя­ми (шестиугольники) и горизонтальные проек­ции образующих, по которым пересекается бо­ковая поверхность цилиндра с указанными плоскостями. Здесь определяют точки пересе­чения проекций образующих цилиндра с про­екциями шестиугольников, лежащих в каждой секущей плоскости. Фронтальные проекции полученных точек 5'... 16' строят с помощью линий проекционной связи. Построенные точ­ки соединяют от руки и обводят по лекалу, так как линии взаимного пересечения представ­ляют собой части эллипсов, получившиеся от пересечения поверхности цилиндра с плос­костями — гранями боковой поверхности пи­рамиды. При обводке линий взаимного пере­сечения необходимо определить границу их ви­димости.

Поскольку линия взаимного пересечения при­надлежит поверхности пирамиды и цилиндра одновременно, то в прямоугольной изометрии на рис. 306 она строится на поверхности цилинд­ра, как более простой поверхности. На ви­димом основании цилиндра от его центра по центровой линии, параллельной оси Оz, вверх и вниз откладывают расстояния между плос­костями Р и R, взятые с профильной проек­ции. Через отметки проводят линии, по которым плоскости пересекают поверхность цилиндра, и на образующих от видимого основания (эл­липса) откладывают расстояния до соответ­ствующих точек, взятых с фронтальной про­екции (можно и с горизонтальной). Точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 строят на образующих, идущих от концов диаметров, параллельных осям Оz и Оу. Расстояния до этих точек от основания берут с фронтальной проекции.