ДВУХ МНОГОГРАННИКОВ

Как уже говорилось, при пересечении по­верхностей двух многогранников образуется замкнутая ломаная пространственная линия. Поверхность одного многогранника может проходить сквозь поверхность другого многогран­ника полностью или частично.

При полном взаимном пересечении обра­зуются две замкнутые ломаные линии (рис. 303). При неполном взаимном пересечении — одна (рис. 304). Ломаная линия пересечения сос­тоит из отрезков прямых линий. Каждый от­резок представляет собой линию по которой пересеклась грань одного многогранника с гранью второго многогранника. Вершины ло­маной линии представляют собой точки, в ко­торых пересеклись ребра одного многогран­ника с гранями или ребрами другого.

Построение линии взаимного пересечения двух многогранников сводится к следующим построениям.

1. Строят точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго многогран­ника и ребер второго многогранника с граня­ми первого многогранника. Каждое ребро представляет собой прямую, которая пересе­кает поверхность другого геометрического те­ла, т. е. грань. Следовательно, решение зада­чи сводится к построению точки пересечения прямой с плоскостью.

2. Пересечение ребер двух многогранников следует рассматривать как пересечение двух прямых.

3. Линию пересечения двух граней следует рассматривать как линию пересечения двух плоскостей.

Построение линии взаимного пересечения поверхностей двух призмявляется самым простым случаем в решении подобных задач, если их боковые грани проецирующие.

На рис. 303 показано построение линии взаимного пересечения двух призм, боковые грани которых являются проецирующими. При решении этой задачи , сначала опреде­ляют, на какой из плоскостей проекций будет видна линия взаимного пересечения, и строят точки пересечения ребер боковой поверхности одной из призм, в данном случае — четырех­угольной, с гранями второй призмы. Затем строят точки пересечения ребер боковой по­верхности второй (пятиугольной) призмы с гранями первой призмы. Линия взаимного пересечения принадлежит одновременно бо­ковым поверхностям двух призм. Поскольку боковая поверхность пятиугольной призмы яв­ляется проецирующей на горизонтальную плоскость проекций, то на этой плоскости проекция линии взаимного пересечения сов­падет с горизонтальной проекцией боковой поверхности данной призмы, т. е. со сторонами пятиугольника. По отношению к профильной плоскости проекций проецирующей является боковая поверхность четырехугольной призмы. Проекция линии взаимного пересечения сов­падет с профильной проекцией боковой поверхности этой призмы, т. е. со сторонами четырехугольника.

Следовательно, линия взаимного пересече­ния не будет видимой ни на горизонтальной, ни на профильной проекциях, так как ее проекции сливаются с. проекциями сторон ос­нований призм. На фронтальную плоскость проекций грани боковых поверхностей обеих призм проецируются прямоугольниками, и линия их пересечения будет видна. Сначала определяют точки пересечения ребер четырех­угольной призмы с поверхностью пятиугольной призмы.

Для этого используют фронтальную и горизонтальную проекции. На горизонталь­ной проекции отчетливо видны точки входа и выхода всех боковых ребер. С помощью ли­ний проекционной связи строят эти точки на соответствующих фронтальных проекциях ре­бер. Построенные на фронтальной проекции точки а', е', т', с', k' и b', f', п', d',i' соединяют отрезками в соответствующем порядке. Будет две линии пересечения: А, Е, М, С, К и F, N, D, I, В (рис. 303).

 

 

 

При обводке этих ли­ний необходимо определить видимость отрезков, из которых она. состоит. Поскольку линия взаимного пересечения принадлежит и тому, и другому многограннику, видимой будет та точка, принадлежащая линии взаимного пере­сечения, которая лежит на видимых гранях обеих призм. По горизонтальной и профиль­ной проекциям определяют видимость граней призмы. Зная это, можно определить види­мость лежащих на них отрезков, которые со­ставляют линию взаимного пересечения. Отрез­ки а'е' и b'f׳ линии взаимного пересечения будут видимыми, а отрезки е'т', f'n', m'c', n'd' линии взаимного пересечения будут не­видимыми. Причем отрезки a'k', k'c', b'i', i'd' совпадут с проекцией нижней грани четырех­угольной призмы.

Для построения линии взаимного пересече­ния двух призм в аксонометрии достаточно на горизонтальной проекции измерить рас­стояния от боковых оснований четырехуголь­ной призмы до точек входа и выхода на пя­тиугольной призме и соответственно отложить их в аксонометрии. Точки Е и F можно отме­тить сразу. Построенные точки соединяют от­резками. Отрезки АЕ, ЕМ и FB линии взаим­ного пересечения будут видимыми.

Построение линии взаимного пересечения поверхностей пирамиды и призмы.Сначала анализируют расположение многогранников относительно плоскостей проекций и их взаим­ное расположение. Определяют, на каких про­екциях проекция линии взаимного пересечения будет видна и ее нужно строить, а на каких проекциях она сливается с отрезками, в кото­рые проецируются боковые грани одного из мно­гогранников. Поскольку на рис. 304 у призмы боковая поверхность является профильно-прое­цирующей, то линия взаимного пересечения на профильной проекции совпадет с проекцией боковой поверхности призмы, т. е. со сторона­ми треугольника.

На фронтальной и горизонтальной проекциях грани боковой поверхности пирамиды проеци­руются в треугольники, а боковой поверхности призмы — в четырёхугольники. Линия пересе­чения изобразится на этих проекциях замкну­той ломаной линией. Для ее построения определяют точки пересечения ребер сначала бо­ковой поверхности одного геометрического тела с боковыми гранями второго, а потом — на­оборот. Некоторые точки, принадлежащие ли­нии взаимного пересечения, можно построить, используя линии проекционной связи, для дру­гих необходимы дополнительные построения При построении точек пересечения ребер пирамиды с гранями призмы, сначала используют профильную проекцию, на которой видно, как ребро пирамиды SA пересекается с верхней гранью призмы в точке 1, а с ниж­ней гранью в точке 2. С помощью линий проекционной связи строят фронтальную и го­ризонтальную проекции этих точек. Профиль­ные проекции s"b" и s"d" ребер пирамиды сливаются в один отрезок, и точки пересече­ния их с проекциями боковых граней призмы попарно совпадают. Так, ребро SB пересекает­ся с призмой в точках 3 и 6", а ребро SD — в точках 7 и 10.

С помощью линий проекционной связи строят их фронтальные и горизонтальные проекции. Ребро пирамиды SC в пересечении не участвует.

Итак, рассмотрены все ребра боковой по­верхности пирамиды. Теперь переходят к опре­делению и построению точек пересечения бо­ковых ребер призмы с гранями пирамиды. На профильной проекции видно, что одно реб­ро в пересечении не участвует. Верхнее и ниж­нее ребра призмы проходят сквозь боковую поверхность пирамиды, но построить их точки пересечения можно только прибегая к допол­нительным построениям. Для этого через верх­нее ребро проводят фронтально-проецирующую плоскость Р и в пересечении боковой поверх­ности пирамиды с этой плоскостью получают четырехугольник. Строят его горизонталь­ную проекцию (на рис. 304 проведены только две стороны четырехугольника, участвующие в построении) и находят точки 5 и 8, в кото­рых горизонтальная проекция верхнего ребра пересеклась с горизонтальной проекцией четы­рехугольника. Затем с помощью линий про­екционной связи строят фронтальные проекции точек пересечения 5' и 8'. Через нижнее ребро призмы проводят фронтально-проецирующую плоскость R.

На горизонтальной проекции строят линию пересечения (на рис. 304 проведено только две ее стороны) и определяют точки, в которых проекция нижнего ребра пересекается с ними. Это горизонтальные проекции точек 4 и 9. С по­мощью линий проекционной связи строят на фронтальной проекции точки 4' и 9'.

Построенные точки соединяют отрезками и определяют их видимость. Точки 1, 6 и 7 при­надлежат верхней грани призмы и ребрам пирамиды SB, SD и SA, видимым как на фрон­тальной, так и на горизонтальной проекции, сле­довательно, отрезки 1 6, 1 7 изображаются видимыми. Точки 2,3 и 10 принадлежат ребрам пирамиды SB, SD и SA и нижней грани призмы, видимым на фронтальной проекции, значит, от­резки 2 3 и 2 10 будут видимыми. На горизон­тальной проекции отрезки 2 3 и 2 10 будут не­видимыми.

Отрезки 4 5 и 8 9 принадлежат граням приз­мы и пирамиды, невидимым на фронтальной проекции, значит эти отрезки будут здесь неви­димыми. Задняя грань призмы является про­ецирующей относительно плоскости H, поэто­му проекции отрезков 5 4-и 8 9 сольются с проекцией этой грани на плоскости Н.

Рассмотрим построение линии взаимного пересечения в прямоугольной изометрической проекции. Расстояние до точек 5 и 8 измеряют на фронтальной или горизонтальной проекциях и откладывают от точки Е. Так же строят точки 4 и 9. Все остальные точки находятся в пересечении ребер боковой поверхности пи­рамиды с перпендикулярами, проведенными от вторичных горизонтальных проекций точек, предварительно построенных в изометрии на основании пирамиды. Полученные точки соеди­няют отрезками. Отрезки 1 6, 6 5 и 1 7 будут видимыми, так как верхняя грань призмы ви­димая в этой аксонометрии. Остальные отрезки линии взаимного пересечения изображены штриховой линией, так как не видны.