Операции над комплексными числами. Деление комплексных чисел

Последняя операция которую осталось рассмотреть — операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:

(23)

Таким образом при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо чтобы . Получим формулу для деления комплексных чисел в явной форме. Пусть

(24)

умножим и числитель и знаменатель дроби на число комплексно-сопряженное знаменателя:

.

(25)

Исходя из (22) в знаменателе дроби получим квадрат модуля знаменателя а числитель перемножим по правилу умножения комплексных чисел:

.

(26)

Поделив почленно реальную и мнимую часть числителя на знаменатель получим:

.

(27)

Выражение (27) - формула деления комплексных чисел в явной форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в явном виде, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.

 

Выводы

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Подробно рассмотрено представление комплексного числа на плоскости, приведена формула Эйлера показательной формы комплексного числа. Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.

27. Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (один из квадратных корней из числа - 1) Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других. общий вид комплексного числа:
a+b*i
тут a и b некоторые числа (1, 2, 3, вобщем любое число пусть даже дробное неважно)
i - это так называемая мнимая единица, она равна корню из -1

Просто корень из минус единицы извлечь нельзя поэтому придумали такое число как мнимая единица. Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.
i — мнимая единица (один из квадратных корней из числа - 1).
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — (вещественное число) - любое положительное, отрицательное число или нуль.

26. Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.

 

Округлить число до определенной цифры (знака), значит заменить его близким по значению числом с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т.д. Названия цифр в разрядах натурального числа можно вспомнить в теменатуральные числа.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.

Если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы.

Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

 

Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.

Записывают результат округления после специального знака «≈». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления.

Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.

Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.

 

Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.

Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1.

Поясним на примере. Округлим 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

 

После подчёркнутой цифры стоит цифра 8, значит к цифре разряда тысяч (у нас это 7) прибавим 1, а все цифры, отделённые вертикальной чертой заменим нулями.

Теперь округлим 756 485 до сотен.

Округлим 364 до десятков.

36|4 ≈ 360 - в разряде единиц стоит 4, поэтому мы оставляем 6 в разряде десятков без изменений.

На числовой оси число 364 заключено между двумя «круглыми» числами 360 и 370. Эти два числа называют приближёнными значениями числа 364 с точностью до десятков.

Число 360 - приближённое значение с недостатком, а число 370 - приближённое значение с избытком.

В нашем случае, округлив 364 до десятков, мы получили, 360 - приближённое значение с недостатком.

Округлённые результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард).

Примеры:

8 659 000 = 8 659 тыс.

3 000 000 = 3 млн.

Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.

Пусть нам нужно посчитать:

794 • 52 =

До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.

794 • 52 ≈ 800 • 50 ≈ 40 000

Делаем вывод, что ответ будет близок к 40 000.

794 • 52 = 41 228

Аналогично можно выполнять прикидку округлением и при делении чисел.

 

25. Основные свойства множества действительных чисел

Совокупность основных свойств множества действительных чисел может быть принято за систему аксиом, основополагающую для построения теории действительных чисел.

1. Свойства суммы

∀a,b∈R операция a+b называется суммой и обладает следующими свойствами:

1) Коммутативность сложения

∀a,b∈Ra+b=b+a

Для любых действительных чисел a и b сумма a и b равна сумме b и a.

2) Ассоциативность сложения

∀a,b,c∈R(a+b)+c=a+(b+c)

Для любых действительных чисел a, b и c сумма a и b плюс c равна a плюс сумма bи c.

3) Свойство нуля

∀a∈R∃!0∈Ra+0=a.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число 0 и при том единственное, что сумма a и 0 равна a.

4) Свойство противоположного элемента

∀a∈R∃(−a)∈Ra+(−a)=0.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число -a, что их сумма равна нулю.

2. Свойства умножения

∀a,b∈R операция a⋅b называется произведением, и ей присущи следующие свойства:

1) Коммутативность умножения

∀a,b∈Ra⋅b=b⋅a.

2) Ассоциативность умножения

∀a,b,c∈Ra⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c.

3) Свойство единицы

∀a∈R∃1∈Ra⋅1=a.

4) Свойство обратного числа

∀a∈Ra≠0∃a−1∈Ra−1=1aa⋅a−1=1.

Множество R∖{0} относительно операции умножения является коммутативной группой.