Кері пропорционал шамалар

Егер бірінші шама бірнеше есе артқанда (кемігенде), екінші шама сонша есе кемитін (артатын) болса, онда мұндай шамалар кері пропорционал шамалар деп аталады.

 

Мысалы: жұмыс мөлшері тұрақты болғанда жұмысшы саны мен жұмыстың орындалу уақыты кері пропорционал шамалар болады.

 

Кері пропорционал шамалардың сәйкес мәндерінің көбейтіндісі тең болады.

Кері пропорционал шамаларға:

1. Тік төртбұрыш ауданы тұрақты болғанда, ені мен ұзындығы;

2. Құны бірдей заттардың мөлшері мен бағасы;

3. Арақашықтық бірдей болғандағы жылдамдық пен уақыт, т.с.с.

Оң және теріс сандар

«+» таңбасымен жазылған сандар оң сандар деп аталады. Мысалы: + 4973; + 2 – оң сандар.

«–» таңбасымен жазылған сандар теріс сандар деп аталады. Мысалы:

–2210; –3 – теріс сандар.

0 (нөл) саны оң санға да, теріс санға да жатпайды.

Егер берілген өрнекте оң сан бірінші орында немесе жеке жазылса, оның алдына «+» таңбасы қойылмайды.

Мысалы: +3а – 7,5 = 3а – 7,5; +4,5; +0,7 орнына 4,5; 7 деп жазылады.

Егер өрнектерде теріс санның алдында қосу, көбейту, бөлу, азайту амалдары болса, онда теріс сан жақшаға алынып жазылады.

Мысалы: 9+(–7), 8 : (–2), 6•(–3), 7–(–6), т.с.с.

Координаталық түзу

Координаталық түзу дегеніміз санақ басы болатын О нүктесі және бірлік кесінділерге бөлінген, оң бағыты көрсетілген түзу.

Координаталық түзуде 0 (нөл) саны санақ басы О нүктесіне сейкес келеді.

Координаталық түзуде санақ басынан оңға қарай оң бағыт деп атайды, онда бірлік кесінділер қатар-қатар салынады, бірінші кесінді ұшы 1, екінші кесінді ұшы 2, т.с.с.

Координаталық түзуде оң бағытқа қарама-қарсы бағытты теріс бағыт деп атайды. Онда теріс сандар кескінделеді.

Қарама-қарсы сандар. Рационал сандар

Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-қарсы сандар деп аталады.

Мысалы: +3 пен – 3; – 0,6 мен 0,6; сандары бір-біріне қарама-қарсы сандар. 0 (нөл) санына қарама-қарсы сан жоқ.

Бүтін сандар жиыны – Z әрпімен таңбаланады.

Бүтін сандар, оң және теріс бөлшек сандар жиыны рационал сандар деп аталады.

Рационал сандар жиыны – Q әрпімен таңбаланады.

Санның модулі

Координаталық түзу бойындағы санды кескіндейтін нүктенің санақ басынан қашықтығы сол санның модулі деп аталады.

Мысалы: – 4 санының модулі 4-ке тең. Жазылуы

Теріс санның модулі оған қарама-қарсы санға тең.

Оң санның моділі сол санның өзіне тең.

Нөл санының модулі 0-ге тең.

Кез келген оң сан 0 (нөл)-ден үлкен:

Кез келген теріс сан 0 (нөл)-ден кіші:

Екі теріс санның қайсысының модулі кіші болса, сол сан үлкен болады.

Мысалы: – 10 мен – 4 салыстырсақ:

Теріс сандарды қосу

Екі теріс санды қосу үшін:

1. Қосылғыштардың модульдерін қосу керек;

2. Шыққан санның алдына «–» таңбасын қою керек.

Таңбалары әр түрлі екі санды қосу

Таңбалары әр түрлі екі санды қосу үшін;

1)Үлкен модульді саннан кіші модульді санды азайту керек;

2) Шыққан санның алдында модулі үлкен санның таңбасын қою керек.

Мысалы: 9+(–5) =+ (9–5) = 4 немесе 9+(–5) = 9–5 = 4; (–10)+7= – 10+7= – 3;

Қарама-қарсы сандар қосындысы 0 (нөл)-ге тең.

Мысалы: а+(–а)=0; (–14,9)+(+14,9)=0

Азайту

Бір саннан екінші санды азайту үшін, азайғышқа азайтқышқа қарама-қарсы санды қосу керек, яғни а – в = а + (–в)

Азайтудың ерекше жағдайлары:

Координаталық түзудегі кесіндінің ұзындығын табу үшін оның оң жақ шеткі нүктесінің координатасынан сол жақ шеткі нүктесінің координатасын азайту керек.

Мысалы: А(–4) және В(3) болатын АВ кесіндісінің ұзындығын табу үшін АВ=3–(–4)=3+(+4)=7, АВ=7 бірлікке тең.

Көбейту

Таңбалары әр түрлі екі санды көбейту үшін:

1. осы сандардың модульдерін көбейту керек;

2. көбейтіндінің алдына «–» таңбасын қою керек.

Таңбалары бірдей екі санды көбейту үшін:

1. осы сандардың модульдерін көбейту керек;

2. көбейтіндінің алдына «+» таңбасын қою керек.

 

Бөлу

Таңбалары әр түрлі сандарды бөлу үшін:

1. бөлінгіштің модулін бөлгіштің модуліне бөлу керек;

2. шыққан бөліндінің алдына «–» таңбасын қою керек.

Таңбалары бірдей сандарды бөлу үшін:

1. бөлінгіштің модулін бөлгіштің модуліне бөлу керек;

2. шыққан бөліндінің алдына «+» таңбасын қою керек.

Рационал сандарға амалдар қолдану

Рационал сандарға амалдар қолдану – натурал сандарға амалдар қолдану ережесі бойынша орындалды.

Бірінші амал бөлу: жақша ішіндегі амалды орындау керек,

Екінші амал бөлу:

Үшінші амал көбейту:

Төртінші амал қосу:

Рационал сандардың периодты ондық бөлшекпен жазылуы

Кез келген рационал санды ( р–бүтін, q–натурал сан) қысқармайтын жай бөлшек түрінде жазуға болады.

Қысқармайтын жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазу үшін, оның алымын бөліміне бұрыштап бөлу керек.

Ондық таңбаларының саны шектеулі ондық бөлшектер-шектеулі ондық бөлшектер деп аталады.

Бөлімінің жіктеуінде 2 және 5 жай көбейткіштері ғана болса, ондай қысқармайтын жай бөлшекті шектеулі ондық бөлшек түрінде жазуға болады.

Ал басқа жағдайда шектеусіз ондық бөлшек болады.

Бұл ондық бөлшектерді шектеусіз периодты ондық бөлшек дейді. Периодты ондық бөлшектердегі үтірден кейін шексіз қайталанатын цифрды немесе цифрлар тобын периоды дейді.

Мысалы: 0,222... = 0,(2) оқылуы: 0 бүтін периодта 2,

0,8333... = 0,8(3) оқылуы: 0 бүтін оннан 8 периодта 3.

Егер периодты ондық бөлшекте периоды үтірден кейін басталса, оны таза периодты ондық бөлшек деп атайды.

Егер периодты ондық бөлшекте үтір мен бірінші периодтың аралығында бір немесе бірнеше қайталанбайтын цифрлар болса, оны аралас периодты ондық бөлшектер дейді.

Кез келген рационал санды шектеусіз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады.

 

Шектеусіз периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру тәсілі

Шектеусіз периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру үшін:

1. Жай бөлшектің бөліміне периодта қанша цифр болса, сонша «9» жазу керек;

2. Үтірден кейін алғашқы периодтың арасында қанша цифр болса, сонша нөл тіркеп жазу керек;

3. Алымына алғашқы периодты аралықтағы санмен қоса жазып, одан периодқа дейінгі цифрлар тобын алып тастау керек;

4. Алымындағы азайтуды орындап, жай бөлшекті жазу керек.

Жай бөлшектің ондық жуықтауы

Жай бөлшектің шектеусіз ондық бөлшекке айналдырылған мәнін дөңгелектеуден алынған шектеулі ондық бөлшекті жай бөлшектің ондық жуықтауы дейді.

Ондық үлеске дейінгі жуықтауы

жүздік үлеске дейінгі жуықтауы

мыңдық үлеске дейінгі жуықтауы

Берілген сандар қатарының медианасы

Берілген сандар қатарының медианасын табу үшін:

1. Берілген сандарды өсу немесе кему ретімен жазу керек;

2. Осылайша орналасқан санның қақ ортасындағы санды табу керек. Сол сан берілген сандар қатарының медианасы болады.

Егер берілген сандар саны тақ болса, онда оның медианасы бір ғана сан, егер жұп болса, ортадағы екі санның арифметикасының ортасы болады.

Мысалы: 9; 4; 5,1; 3,2; 7; 6,2; 8,9 сандарының медианасын табайық, ол үшін өсу ретімен жазсақ: 3,2; 4; 5,1; 6,2; 7; 8,9; 9 медианасы 6,2. сандар қатарынан медианасын табайық, ол үшін өсу ретімен жазсақ, медианасы:

Алгебралық өрнек. Алгебралық өрнектің мәні. Алгебралық қосынды

Өрнектің жазылуында бір немесе бірнеше әріптер, сандар, амал таңбалар және жақшалар болса, ондай өрнектер алгебралық өрнек болып табылады.

Алгебралық өрнектің құрамындағы әріпті санмен алмастыруға болады. Әріптің берілген өрнектің мағынасы болатын мәндерін әріптің қабылдайтын мәндері деп атайды.

 

Мысалы: өрнегінде х-тың қабылдайтын мәндері 1-ден басқа сандар.

Бірнеше алгебралық өрнектерден «+» және «–» таңбалары арқылы құрастырылған жазу алгебралық қосынды деп атайды.

 

Мысалы: мұндағы 4а, –2в, 3с, –5d алгебралық қосылғыштар деп аталады.

 

Алгебралық өрнектегі әріптің орнына оның қабылдайтын мәнін қойып, көрсетілген амалдарды орындау нәтижесінде шығатын санды алгебралық өрнектің мәні деп атайды.

 

Алгебралық өрнекті ықшамдау

Екі өрнектегі әріптердің қабылдайтын мәндерінің кез келгенінде өрнектердің сәйкес мәндері тең болса, онда мұндай өрнектер теңбе - тең өрнектер деп аталады.

 

Өрнекті оған тең өрнекпен алмастыруды – өрнекті түрлендіру деп атайды.

 

Өрнекті түрлендіргенде қосудың ауыстырымдылық, терімділік қасиеттерін қолданып, қосылғыштардың орындарын ауыстырып топтауға болады.

 

Көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып өрнектерді түрлендіруге болады.

 

Егер алгебралық өрнек бөлшекпен берілсе, бөлшекті бірдей көбейткішке қысқартуға болады.

Жақшаларды ашу. Ұқсас мүшелерді біріктіру

Жақша алдында «+» таңбасы болса, онда жақшаны ашқанда жақша ішіндегі қосылғыштар өз таңбасымен жазылады.

Жақша алдында «–» таңбасы болса, онда жақшаны ашқанда жақша ішіндегі қосылғыштардың таңбалары қарама-қарсы таңбамен алмастырылады.

Алгебралық өрнектердің қосындысында әрбір қосылғыштардағы бірдей көбейткіштерді жақша сыртына шығарып жазуға болады. Мұны ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару деп атайды.

Мысалы: 3

Ұқсас қосылғыштарды біріктіру үшін:

1. Олардың коэффициенттерін қосу керек;

2. Алынған нәтижені ортақ әріп бөлікке көбейту керек.

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп – ах=в түріндегі теңдеуді айтады. (мұндағы х-айнымалы, а және в қандай да бір сандар)

Мысалы: 0,9х=4,5; 2х+5=3х–2

Түбірлері бірдей теңдеулерді мәндес теңдеулер дейді. Мысалы:

мәндес теңдеулер.

Теңдеулерді түрлендіру үшін теңдеулердің мынандай қасиеттері пайдаланылады.

1. Теңдеудегі қосылғышты теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде оның таңбасы қарама-қарсы таңбаға ауысады.

2. Теңдеудің екі жағында нөлден өзге санға көбейткенде және бөлгенде теңдеу мәні өзгермейді.

.

Бір айнымалысы бар теңдеуді шешу үшін:

1. Айнымалысы бар мүшелерді теңдеудің сол жағына, бос мүшелерді теңдеудің оң жағына жинақтау керек;

2. Теңдеудегі ұқсас мүшелерді біріктіріп, теңдеуді ах=в түріне келтіру керек;

3. Теңдеудің екі бөлігін де айнымалының коэффициентіне бөліп, теңдеудің түбірін табу керек.

ах=в теңдеуін шешуде үш жағдай кездеседі:

Санды теңсіздік

7•6 3•9 теңсіздігі санды теңсіздік деп аталады, мұндағы 7•6 – сол жақ бөлігі, 3•9 – оң жақ бөлігі деп қарастырылады.

 

а мен в сандарын салыстырғанда а–в айырмасы оң сан болса, болады.

Мысалы: 1,8 мен – 0,8 салыстырсақ 1,8–(–0,8)=2,6, 2,6 0, ендеше 1,8 –0,8.

а мен в сандарын салыстырғанда а–в айырмасы теріс сан болса, болады.

 

Мысалы: 2,8 мен 4,2 салыстырсақ 2,8–4,2= –1,4, –1,4 0, ендеше 2,8 4,2.

 

Егер теңсіздіктер < немесе > белгілерімен жазылса, қатаң теңсіздік деп, ал немесе белгілерімен жазылса қатаң емес теңсіздік деп аталады.

Мысалы: а 5 – қатаң емес, оқылуы: «а саны 5-тен артық немесе тең»;

а < 1,2 – қатаң, оқылуы: «а саны 1, 2-ден кіші».

Егер х > –1 және х < 3 теңсіздіктерін біріктіріп, –1< х < 2 деп жазуға болады. Мұндай теңсіздіктерді қос теңсіздік дейді.

Санды теңсіздіктердің қасиеті

Санды теңсіздік қасиеттері:

1. а саны в санынан үлкен болса, в саны а санынан кіші болады, яғни а > в болса, онда в < а.

Мысалы: 4,3 > 1,9 болса, 49 < 4,3.

1. а саны в санынан кіші, ал в саны с санынан кіші болса, онда а саны с санынан кіші болады, яғни а < в және в < сонда а < с.

Мысалы: 1,7 < 2, 2 < 2,3 онда 1,7 < 2,3.

1. Санды теңсіздіктің екі жақ бөлігіне бірдей санды қосқаннан теңсіздік өзгермейді, яғни а < в болса, онда а+с < в+с, мұнда с – кез келген сан.

Мысалы: 6,3 > 3,5 екі жағына да 2,5 санын қосса 6,3+2,5 > 3,5+2,5; 8,8 > 6.

1. Санды теңсіздіктің екі жақ бөлігін де бірдей оң санға көбейтсек немесе бөлсек теңсіздік белгісі өзгермейді, яғни а < в болса, с > 0 онда а•с > в•с,

Мысалы: 7,2 < 10 теңсіздігін 2-ге көбейтсек және бөлсек 7,2•2 < 10•2, 14,4 < 20, 7,2:2 < 10:2, 3,6 < 5.

1. Санды теңсіздіктің екі жақ бөлігін де бірдей теріс санға көбейтсек немесе бөлсек, теңсіздік белгісі қарама-қарсы белгіге өзгереді, яғни а < в болса, с < 0, онда а•с > в•с, .

Мысалы: 2,1 > 1,9 теңсіздігін (–3) көбейтсек және бөлсек 2,1• ( –3) < 1,9 • (–3), –6,3 < –5,7, 2,1:(–3) < 1,9:(–3), –0,7 < 3 .

1. а саны в санынан кіші болса, онда олардың кері сандары -ден үлкен болады, яғни: 0 < а < в болса, .

Мысалы: 7 < 9 болса, онда болады.

Санды теңсіздіктерді қосу және азайту

Теңсіздік белгілері бірдей теңсіздіктері мүшемен қосуға болады. Теңсіздік белгісі сақталады,

Егер теңсіздік таңбалары әр түрлі болса, онда қалаған теңсіздіктің оң жағын сол жағына, сол жағын оң жағына ауыстырып, бірдей таңбаға келтіру керек,

Теңсіздік белгілері қарама-қарсы екі теңсіздікті мүшемен азайтуға болады. Айырма теңсіздігін таңбасы азайғыш теңсіздік таңбасымен бірдей болады,

Санды теңсіздіктерді көбейту және бөлу

Екі жақ бөлігі де оң сандар болып келген теңсіздіктерді көбейту үшін:

1. көбейткіш теңсіздік таңбаларын бірдей етіп алу керек;

2. көбейткіш теңсіздіктерді мүшемен көбейту керек;

3. көбейтінді теңсіздіктің белгісін көбейткіш теңсіздіктер белгісімен бірдей етіп қою керек.

Санды теңсіздіктерді бөлу үшін:

1. бөлгіш теңсіздіктің мүшелерін оған кері сандармен алмастырып, теңсіздік белгісін қарама-қарсы белгіге өзгерту керек; (6 қасиет бойынша)

2. бөлінгіш теңсіздік пен бөлгіш теңсіздік белгілерін бірдей теңсіздік белгісімен жазу керек;

3. теңсіздік белгілері бірдей теңсіздіктерді мүшелеп көбейту керек.

Мысалы: 24 > 21 теңсіздігін 6<7 теңсіздігіне бөлу керек болса, онда бөлгіш теңсіздікті түрінде жазып,

 

 

Сан аралықтары

Координаталық түзуде а және в сандарының аралығындағы сандар жиыны а және в сандарының аралығы деп аталады.

Сан аралығы:

1. интервал (а; в). Мысалы: (2; 5,2), 2 < х < 5,2;

2. кесінді . Мысалы:

3. жартылай интервал

Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздікті шешу

ах > в, ах < в, ах >/ в, ах </ в теңсіздіктерін бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер болады.

Теңсіздікті тура санды теңсіздікке айналдыратын айнымалының мәндер жиынын теңсіздіктің шешімі деп атайды.

Шешімдері бірдей теңсіздіктерді мәндес теңсіздіктер деп атайды.

Мысалы: мәндес теңсіздіктер.

Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздікті шешу үшін:

1. Теңсіздіктегі белгісізі. бар мүшелерді теңсіздіктің бір жағына бос мүшелерді екінші жағына жинақтау керек;

2. Теңсіздіктегі ұқсас мүшелерді біріктіру керек;

3. Теңсіздіктің екі жағын да белгісіздің коэффициентіне бөлу керек;

4. Теңдіктің шешімдерін сан аралығында белгілеу керек.

Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесі. Координаталар бойынша нүктені салу

Жазықтықта санақ басы О нүктесінде қиылысатын өзара перпендикуляр екі координаталық түзу - тік бұрышты координаталар жүйесін құрайды.

 

Тік бұрышты кординаталар жүйесі орналасқан жазықтық-координаталық жазықтық деп аталады.

 

Координаталық түзулер координатаның осьтері деп аталады.

 

Горизанталь сызығы координаталық түзу абсциссалар (ОХ) осі деп аталады да, солдан оңға қарай бағытталады.

 

Вертикаль сызылған координаталық түзу ординаталар (ОУ) осі деп аталады да, төменнен жоғары қарай бағытталады.

 

Абсциссалар осі мен ординаталар осінің қиылысу нүктесін координаталар басы деп атайды.

 

Берілген нүктенің абсциссасы мен ординатасы нүктенің координаталары деп аталады.

 

Нүктенің координаталары жақша ішінде жазылады. А(4;3). Нүктенің координаталарын жазғанда бірінші орынға абсциссасын, екінші орынға ординатасын жазады.

 

Яғни, нүктенің жазықтығындағы орны сандар жұбымен анықталады.

 

ОХ осінің бойында жатқан кез келген нүктенің ординатасы 0-ге тең. Мысалы, Е(3;0), F(-4;0).

 

OY осінің бойында жатқан кез келген нүктенің абсциссасы 0-ге тең. Мысалы, C(0;-4), (0;7)

 

Координатаның осьтер жазықтықты төрт бөлікке бөледі. Оларды ширектер деп атайды.

 

Нүктенің координаталарының таңбаларына қарап, оны қай ширекте орналасқанын анықтауға болады.

 

Егер нүкте координаталарының таңбалары (+;+) болса, I-ширекте,(-;+) болса, II-ширекте, (-;-) болса, III-ширекте, (+;- ) болса, IV-ширекте орналасады.

Мысалы, А (-3;2)-II-ширекте, B (4;-3)-IV-ширекте