Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть две прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , соответственно, то есть ; . Требуется найти угол , на который надо повернуть прямую , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой . (См. рис.27)

По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: или . Если , то

.

Но так как и , то

(3.8)

Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.

Пример.Найти угол между прямыми и .

Решение.Запишем общее уравнение заданных прямых и в виде уравнений с угловыми коэффициентами и , соответственно:

или , значит ;

, значит .

Подставляя найденные значения и в формулу (3.8), находим угол между прямыми и :

, откуда .

Ответ: .

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть

.

Если прямые ; параллельны, то и , следовательно, из формулы (3.8) получаем, что , то есть . И обратно, если прямые и таковы, что , значит , то есть прямые параллельны.

Если прямые и перпендикулярны, то , следовательно , откуда . Справедливо и обратное утверждение.

Пример.Составить уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной прямой .

Решение.Перепишем общее уравнение прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом :

, , , значит .

Прямые и перпендикулярны по условию, значит , следовательно, .

Подставляя в уравнение (3.5) , , находим искомое уравнение прямой :

Ответ: .