Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области;

3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области, ограниченной линиями: , , , .

Решение. Здесь , .

1) Находим все критические точки:

Решением системы являются точки , , , . Ни одна из найденных точек не принадлежит области .

Рис. 12

2) Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков , , и (см. рис. 12).

а)

Участок –отрезок вертикальной прямой при (см. рис. 13). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю , находим стационарную точку . Значение функции при равно: , а значение функции на концах отрезка : ,

.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее , то есть , .

б)

Участок – дуга гиперболы при (см. рис. 14). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю , находим , , из которых только одна точка принадлежит отрезку (см. рис. 14). Значение функции при равно: , а значение на правом конце отрезка равно .

Следовательно, наименьшее значение функции на участке равно , а наибольшее , то есть , .

в)

Участок – отрезок вертикальной прямой при (см. рис. 15). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю: , находим точку , совпадающую с левым концом отрезка (см. рис. 15). Значение функции при равно: , а значение на правом конце отрезка , то есть при равно:

Следовательно, на отрезке наименьшее значение равно , а наибольшее , то есть , .

г)

Участок – отрезок горизонтальной прямой при (см. рис.16). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю: находим точку , которая не принадлежит отрезку (см. рис. 16). Значения функции на концах отрезка равны:

;

.

Следовательно, наименьшее значение на отрезке равно , а наибольшее , то есть , .

3) Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г), имеем:

.

Замечание. Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину Р границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD, см. рис. 17).

Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы.